Repita o Exercício 4 usando a regra do ponto médio e os resultados do Exercício 10

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O limite de erro pela regra do ponto médio é dado por

E l i m i t e = max ⁡ b - a 3 24 f ' ' ε

A – Temos a seguinte integral

I = ∫ - 0,25 0,25 cos ⁡ x 2   d x

Utilizando de uma propriedade trigonométrica, nós temos que

I = ∫ - 0,25 0,25 1 + cos ⁡ 2 x 2   d x = 1 2 x + sin ⁡ 2 x 4 - 0,25 0,25

Substituindo os valores, nós obtemos

I = 0,25 + sin ⁡ 0,5 2 = 0,4897127693

Do exercício 10, nós temos o seguinte resultado

I m = 0,5  

Então, o erro é dado por

E a = I - I m = 0,4897127693 - 0,5 = 0,0102872307

Para a fórmula de erro de limite, temos que calcular a segunda derivada da função, com isso, nós temos que

M = d 2 d x 2 1 2 + cos ⁡ 2 x 2 = d d x 2 sin ⁡ 2 x 2 = 2 cos ⁡ ( 2 x )

Logo, o limite de erro é dado por

E l i m i t e = max ⁡ b - a 3 6 × M = max ⁡ 0,25 + 0,25 3 6 × 2 cos ⁡ 2 x

Desenvolvendo o termo, nós temos que

E l i m i t e = max ⁡ 0,5 3 6 × 2 cos ⁡ ( 0 ) = 0,01041667

Passo 2

B – A integral é dada por

I =   ∫ - 0,5 0 x ln ⁡ x + 1   d x

Essa integral tem como resultado

I = - x 2 - 2 x 4 - 0,5 0 + x 2 ln ⁡ x + 1 2 - 0,5 0 - ln ⁡ 1 - ln ⁡ - 0,5 2

Logo, nós temos que

I = 5 16 + ln ⁡ 2 8 - ln ⁡ 2 2 = 0,0525698

Do exercício 10, nós temos a seguinte integral aproximada

I m = 0,0359603

Então, o erro atual

E a = I - I m = 0,0525698 - 0,0359603 = 0,0166095

O limite de erro quase pode ser calculado, só falta apenas a segunda derivada da função, que é igual a

M = d 2 d x 2 x ln ⁡ x + 1   d x = x + 2 x + 1 2

O limite de erro é dado por

E l i m i t e = max ⁡ b - a 3 6 × M = max ⁡ 0 - - 0,5 3 6 × - 0,5 + 2 1 - 0,5 2 = 0,03125

Passo 3

C – A integral é dada por

I =   ∫ 0,75 1,3 sin ⁡ x 2 - 2 x sin ⁡ x + 1   d x

Que tem como resultado

I = - cos ⁡ x sin ⁡ x 2 - 2 sin ⁡ x + 2 x cos ⁡ x + 3 x 2 0,75 1,3 = - 0,0203767795

Do exercício 10, nós temos a seguinte integral aproximada

I m = - 0,0118953

Então, o erro atual é igual a

E a t u a l = I - I m = - 0,0203767795 - ( - 0,0118953 ) = 0,00848153

Calculando a segunda derivada, nós temos que

M = d 2 d x 2 sin ⁡ x 2 - 2 x sin ⁡ x + 1 = 2 cos ⁡ x 2 - 4 cos ⁡ x - 2 sin ⁡ x 2 + 2 x sin ⁡ ( x )

Logo, o limite de erro é igual

E l i m i t e = max ⁡ 1,3 - 0,75 3 6 × 2 cos ⁡ 0,75 2 - 4 cos ⁡ 0,75 - 2 sin ⁡ 0,75 2 + 2 x sin ⁡ 0,75 = 0,0122204

Passo 4

D – A integral é a seguinte

I = ∫ e e + 1 1 x ln ⁡ x d x

Que tem como resultado

I = ln ⁡ ln ⁡ e + 1 - ln ⁡ ln ⁡ e = 0,27251388

Do exercício 10, nós temos a seguinte integral aproximada

I m = 0,265838

Então, o erro atual é dado por

E a t u a l = I - I m = 0,27251388 - 0,265838 = 0,00667588

Calculando a segunda integral, nós temos que

M = d 2 d x 2 1 x ln ⁡ x = 2 ln 2 ⁡ x + 3 ln ⁡ ( x ) + 2 x 3 ln 3 ⁡ ( x )

O limite de erro é dado por

E l i m i t e = max ⁡ b - a 3 6 × M = max ⁡ e + 1 - e 3 6 × 2 ln 2 ⁡ e + 3 ln ⁡ e + 2 e 3 ln 3 ⁡ e

Com isso nós temos o seguinte resultado

E l i m i t e = 0,348509478

Resposta

a )   E r r o   a t u a l :   0,0102872307   L i m i t e   d e   e r r o :   0,01041667  

b )     E r r o   a t u a l :   0,0166095   L i m i t e   d e   e r r o :   0,03125

c )   E r r o   a t u a l :   0,00848153     L i m i t e   d e   e r r o :   0,0122204

d )   E r r o   a t u a l :   0,00667588   L i m i t e   d e   e r r o :   0,348509478