Enunciado

Resolver o sistema matricial:

  1 0 1 1 1 0   1 1 0   x 1 |         y 1 x 2 |         y 2 x 3 |         y 3   =   4 |                 2 2 |       - 2 9 |                 7    

Pelo método de Gauss-Compacto.

Passo 1

Faaala, pessoal! Bora pra mais uma questãozinha? Aqui o enunciado nos pede para resolver o sistema matricial utilizando o método de Gauss-Compacto. Para resolver essa questão vamos, primeiramente, montar a matriz 3x5 associada ao sistema:

A matriz será:

  1 0 1 |         4 |           2 1 1 0 |         2 | - 2 1 1 0 |         9 |           7  

Agora, de posse dessa matriz vamos começar a montar a nossa matriz compacta (que comporta as matrizes L e U ao mesmo tempo). Vamos montá-la passo a passo para não nos perdermos.

1ª linha: A primeira linha da nossa nova matriz 3x5 será a mesma da matriz original, portanto:

u 11 = 1   ,     u 12 = 0 ,           u 13 = 1 ,             u 14 = 4 ,             u 15 = 2

1ª coluna: A primeira coluna será formada pelos elementos que ocupa0m a mesma posição na matriz original divididos pelo elemento a 11 . Assim, teremos:

u 21 = a 21 a 11 = 1 1   = 1

u 31 = a 31 a 11 = 1 1 = 1

Passo 2

Agora, vamos partir para a segunda linha e segunda coluna. Assim, teremos:

2ª linha: A segunda linha será formada pela diferença entre os elementos que ocupam a mesma posição na matriz original e o produto da linha dois pela coluna j, limitado pela linha 1, na 2ª matriz. Meio confuso né? Hahaha. Mas vamos ver na prática como isso fica:

u 22 m a t r i z   n o v a = u 22 m a t r i z   o r i g i n a l - l 21 m a t r i z   n o v a   .   u 12 ( m a t r i z   n o v a )  

Faremos isso para todos os elementos dessa linha. Dessa forma, ficaremos com:

u 22 = 1 - 1   .   0 = 1

u 23 = 0 - 1   . 1 =   - 1

u 24 = 2 - 1   .   4 =   - 2

u 24 =   - 2 - 1   .   2 =   - 4

2ª coluna: A segunda coluna será formada pela diferença entre os elementos que ocupam a mesma posição na matriz original e o produto da linha 3 pela coluna 2, limitado pela coluna 1, divido pelo elemento da diagonal principal na nova matriz, assim:

u 32 m a t r i z   n o v a = u 31 m a t r i z   o r i g i n a l - u 31 m a t r i z   n o v a     .   u 12 ( m a t r i z   n o v a )

Substituindo os valores, teremos:

u 32 = 1 - 1   .   0 1 =   - 1

Passo 3

Agora encontraremos a terceira linha da nova matriz:

3ª linha: A terceira linha da nova matriz vai ser formada pela diferença entre o elemento que ocupa a mesma posição na matriz original e o produto da linha 3 pela coluna j, limitado pela linha 2, na segunda matriz. Isso ficará da seguinte forma:

u 33 m a t .   n o v a = u 33 m a t .   o r i g . - l 32 m a t .   n o v a .   u 13 m a t .   n o v a

- l 32 m a t .   n o v a .   u 23 ( m a t .   n o v a )

E faremos isso para todos os respectivos elementos da terceira linha. Substituindo os valores, teremos:

u 33 = 0 - 1   .   1 - 1   .   - 1 = 0

u 34 =     9 - 1 .   4 - 1   .   - 2 = 7

u 35 = 7 - 1   .   2 - 1   .   - 4 = 9

Passo 4

Agora que já temos todos os elementos nossa nova matriz, ficará:

  1 0 1 |         4 |           2 1 1 0 |         2 | - 2 1 1 0 |         9 |           7     ~     1 0 1 |           4 |           2 1 1 - 1 | - 2 | - 4 1 1 0 |           7 |           9  

Por fim, basta montarmos os sistemas com a matriz triangular superior. O primeiro sistema será:

1 0 1 0 1 - 1   0 0 1   x 1 x 2 x 3   = - 4 2 7    

Ficaremos com as seguintes equações:

x 1 + x 3 = 4

x 2 - x 3 = - 2

x 3 = 7

Substituindo o valor de x 3 nas duas equações, teremos:

x 1 =   - 3     ,           x 2 = 5 ,         x 3 = 7  

O segundo sistema, será:

1 0 1 0 1 - 1   0 0 1   y 1 y 2 y 3   = - 2 4 9  

Ficaremos com as seguintes equações:

y 1 + y 3 = 2

y 2 - y 3 = - 4

y 3 = 9

Substituindo o valor de y 3 nas duas equações, teremos:

y 1 =   - 7     ,           y 2 = 5 ,         y 3 = 9

Portanto, nossas soluções serão:

x = - 3 ,   5 ,   7 t

E

y = - 7 ,   5 ,   9 t

E aqui finalizamos mais uma questão, galerinha. Nos vemos na próxima!!! 😊

Resposta

x = - 3 ,   5 ,   7 t

y = - 7 ,   5 ,   9 t