As seguintes sequências são linearmente convergentes. Gere os primeiros cinco termos da sequência {   p ^ n } usando o método ∆ 2 de Aitken´s.

a .   p 0   =   0.5 ,     p n   =   ( 2   -   e P n - 1   + P n - 1 2 - 1 ) / 3 ,   n   ≥   1  

b .   p 0   =   0 . 7 5 ,     p n   =   (   e P n - 1 / 3 ) 1 / 2 ,   n   ≥   1  

c .   p 0   =   0.5 ,   p n   =   3 - P n - 1   ,   n   ≥   1  

d .   p 0   =   0.5 ,   p n   =   c o s   P n - 1 ,   n   ≥   1

Passo 1

E ai seres de luz, tudo bem?

Bora resolver mais uma?

Encostaaa!!

Pelo método de Aitken

q n = p n - p n + 1 - p n 2 p n + 2 - 2 p n + 1 + p n             ( 1 )

  1. Considerando os seguintes valores
  2. p 0 = 0.5

    E

    p n = 2 - e p n - 1 + p n + 1 2 + p n       ( 2 )

    Para encontrarmos os primeiros 5 termos da sequência { q n } , primeiro iremos encontrar os termos, p 1 ,   p 2 ,   p 3 , p 4 , p 5 ,   e   p 6 .

    Substituindo n = 1 na expressão (2), para conseguirmos encontrar p 1

    p 1 = ( 2 - e p 0 + p 0 2 ) / 3

    p 1 = ( 2 - e 0.5 + 0.5 2 ) / 3

    p 1 = 0.200426

    Da mesma forma, substituindo n = 2 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

    p 2 = ( 2 - e p 1 + p 1 2 ) / 3

    p 2 = 0.272749

    Da mesma forma, substituindo n = 3 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

    p 3 = ( 2 - e p 2 + p 2 2 ) / 3

    p 3 = 0.2 536071

    Da mesma forma, substituindo n = 4 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

    p 4 = ( 2 - e p 3 + p 3 2 ) / 3

    p 4 = 0.2585504

    Da mesma forma, substituindo n = 5 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

    p 5 = ( 2 - e p 4 + p 4 2 ) / 3

    p 5 = 0.2572656

    Da mesma forma, substituindo n = 6 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

    p 6 = ( 2 - e p 5 + p 5 2 ) / 3

    p 6 = 0.2575988

    Agora iremos substituir n = 0 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

    q 0 = p 0 - p 1 - p 0 2 p 2 - 2 p 1 + p 0

    Substituindo os valores de p 0 ,   p 1   e   p 2 , iremos obter

    q 0 = 0.5 - 0.200426 - 0.5 2 0.272749 - 2 0.200426 + 0.5

    q 0 = 0.258684

    Agora iremos substituir n = 1 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

    q 1 = p 1 - p 2 - p 1 2 p 3 - 2 p 2 + p 1

    Substituindo os valores de p 1 ,   p 2   e   p 3 , iremos obter

    q 1 = 0.200426 - 0.272749 - 0.200426 2 0.2536071 - 2 0.272749 + 0.200426

    q 1 = 0.257613

    Agora iremos substituir n = 2 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

    q 2 = p 2 - p 3 - p 2 2 p 4 - 2 p 3 + p 2

    Substituindo os valores de p 2 ,   p 3   e   p 4 , iremos obter

    q 2 = 0.272749 - 0.2536071 - 0.272749 2 0.2585504 - 2 0.2536071 + 0.272749

    q 2 = 0.2575358

    Agora iremos substituir n = 3 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

    q 3 = p 3 - p 4 - p 3 2 p 5 - 2 p 4 + p 3

    Substituindo os valores de p 3 ,   p 4   e   p 5 , iremos obter

    q 3 = 0.2536071 - 0.2585504 - 0.2536071 2 0.2572656 - 2 0.2585504 + 0.2536071

    q 3 = 0.2575306

    Agora iremos substituir n = 4 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

    q 4 = p 4 - p 5 - p 4 2 p 6 - 2 p 5 + p 4

    Substituindo os valores de p 4 ,   p 5   e   p 6 , iremos obter

    q 4 = 0.2585504 - 0.2572656 - 0.2585504 2 0.2575988 - 2 0.2572656 + 0.2585504

    q 4 = 0.2575301

    Logo a sequencia dos primeiros cinco termos da sequencia são:

    q 0 = 0.25868 4

    q 1 = 0.25761 3

    q 2 = 0.257535 8

    q 3 = 0.257530 6

    q 4 = 0.257530 1

    Passo 2

  3. Considerando os seguintes valores
  4. p 0 = 0.75

    E

    p n = ( e P n - 1 / 3 ) 1 / 2

    Para encontrarmos os primeiros 5 termos da sequência { q n } , primeiro iremos encontrar os termos, p 1 ,   p 2 ,   p 3 , p 4 , p 5 ,   e   p 6 .

    Substituindo n = 1 na expressão (2), para conseguirmos encontrar p 1

    p n = ( e P n - 1 / 3 ) 1 / 2

    p 1 = ( e 0.75 / 3 ) 1 / 2

    p 1 = 0.84003968

    Da mesma forma, substituindo n = 2 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

    p 2 = ( e 0.84003968 / 3 ) 1 / 2

    p 2 = 0.87872234

    Da mesma forma, substituindo n = 3 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

    p 3 = ( e 0.87872234 / 3 ) 1 / 2

    p 3 = 0.89588343

    Da mesma forma, substituindo n = 4 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

    p 4 = ( e 0.89588343 / 3 ) 1 / 2

    p 4 = 0.90360366

    Da mesma forma, substituindo n = 5 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

    p 5 = ( e 0.90360366 / 3 ) 1 / 2

    p 5 = 0.90709842

    Da mesma forma, substituindo n = 6 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

    p 6 = ( e 0.90709842 / 3 ) 1 / 2

    p 6 = 0.90868485

    Agora iremos substituir n = 0 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

    q 0 = p 0 - p 1 - p 0 2 p 2 - 2 p 1 + p 0

    Substituindo os valores de p 0 ,   p 1   e   p 2 , iremos obter

    q 0 = 0.75 - 0.84003968 - 0.75 2 0.87872234 - 2 0.84003968 + 0.75

    q 0 = 0.9078585

    Agora iremos substituir n = 1 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

    q 1 = p 1 - p 2 - p 1 2 p 3 - 2 p 2 + p 1

    Substituindo os valores de p 1 ,   p 2   e   p 3 , iremos obter

    q 1 = 0.84003968 - 0.87872234 - 0.84003968 2 0.89588343 - 2 0.87872234 + 0.84003968

    q 1 = 0.9095675

    Agora iremos substituir n = 2 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

    q 2 = p 2 - p 3 - p 2 2 p 4 - 2 p 3 + p 2

    Substituindo os valores de p 2 ,   p 3   e   p 4 , iremos obter

    q 2 = 0.87872234 - 0.89588343 - 0.87872234 2 0.90360366 - 2 0.89588343 + 0.87872234

    q 2 = 0.9099168

    Agora iremos substituir n = 3 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

    q 3 = p 3 - p 4 - p 3 2 p 5 - 2 p 4 + p 3

    Substituindo os valores de p 3 ,   p 4   e   p 5 , iremos obter

    q 3 = 0.89588343 - 0.90360366 - 0.89588343 2 0.90709842 - 2 0.90360366 + 0.89588343

    q 3 = 0.9099887

    Agora iremos substituir n = 4 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

    q 4 = p 4 - p 5 - p 4 2 p 6 - 2 p 5 + p 4

    Substituindo os valores de p 4 ,   p 5   e   p 6 , iremos obter

    q 4 = 0 . 89588343 - 0 . 90709842 - 0.90 360366 2 0 . 90868485 - 2 0 . 90709842 + 0.90360366

    q 4 = 0 . 9100035

    Logo a sequencia dos primeiros cinco termos da sequencia são:

    q 0 = 0.9095675

    q 1 = 0.9099168

    q 2 = 0.257535 8

    q 3 = 0.909988 7

    q 4 = 0.910003 5

    Passo 3

  5. Considerando os seguintes valores

p 0 = 0 . 5

E

p n = 3 - P n - 1  

Para encontrarmos os primeiros 5 termos da sequência { q n } , primeiro iremos encontrar os termos, p 1 ,   p 2 ,   p 3 , p 4 , p 5 ,   e   p 6 .

Substituindo n = 1 na expressão (2), para conseguirmos encontrar p 1

p 1 = 3 - P 0

p 1 = 0.57735

Da mesma forma, substituindo n = 2 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

p 2 = 3 - P 1

p 2 = 0.530315

Da mesma forma, substituindo n = 3 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

p 2 = 3 - P 2

p 3 = 0.5584386

Da mesma forma, substituindo n = 4 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

p 4 = 3 - P 3

p 4 = 0.5584386

Da mesma forma, substituindo n = 5 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

p 5 = 3 - P 4

p 5 = 0.5516498

Da mesma forma, substituindo n = 6 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

p 6 = 3 - P 5

p 6 = 0.5455017

Agora iremos substituir n = 0 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

q 0 = p 0 - p 1 - p 0 2 p 2 - 2 p 1 + p 0

Substituindo os valores de p 0 ,   p 1   e   p 2 , iremos obter

q 0 = 0 . 5 - 0 . 0.57735 - 0 . 5 2 0 . 530315 - 2 0 . 57735 + 0 . 5

q 0 = 0 . 5481008

Agora iremos substituir n = 1 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

q 1 = p 1 - p 2 - p 1 2 p 3 - 2 p 2 + p 1

Substituindo os valores de p 1 ,   p 2   e   p 3 , iremos obter

q 1 = 0 . 57735 - 0 . 530315 - 0 . 57735 2 0 . 5584386 - 2 0 . 530315 + 0 . 57735

q 1 = 0 . 5479147

Agora iremos substituir n = 2 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

q 2 = p 2 - p 3 - p 2 2 p 4 - 2 p 3 + p 2

Substituindo os valores de p 2 ,   p 3   e   p 4 , iremos obter

q 2 = 0 . 530315 - 0 . 5584386 - 0 . 530315 2 0 . 541448 - 2 0 . 5584386 + 0 . 830315

q 2 = 0 . 547846

Agora iremos substituir n = 3 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

q 3 = p 3 - p 4 - p 3 2 p 5 - 2 p 4 + p 3

Substituindo os valores de p 3 ,   p 4   e   p 5 , iremos obter

q 3 = 0 . 5584386 - 5584386

q 3 = 0 . 5478219

Agora iremos substituir n = 4 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

q 4 = p 4 - p 5 - p 4 2 p 6 - 2 p 5 + p 4

Substituindo os valores de p 4 ,   p 5   e   p 6 , iremos obter

q 4 = 0 . 5478132 - 0 . 5516498 - 0 . 541448 2 0 . 5455017 - 2 0 . 5516498 + 0.541448

q 4 = 0 . 5478132

Logo a sequencia dos primeiros cinco termos da sequencia são:

q 0 = 0.5481008

q 1 = 0.5479147

q 2 = 0.547846

q 3 = 0.5478219

q 4 = 0.5478132

Passo 2

  1. Considerando os seguintes valores

p 0 = 0.5

E

p n = cos ⁡ P n - 1  

Para encontrarmos os primeiros 5 termos da sequência { q n } , primeiro iremos encontrar os termos, p 1 ,   p 2 ,   p 3 , p 4 , p 5 ,   e   p 6 .

Substituindo n = 1 na expressão (2), para conseguirmos encontrar p 1

p 1 = cos ⁡ P 0

p 1 = 0.87758

Da mesma forma, substituindo n = 2 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

p 2 = cos ⁡ P 1

p 2 = 0 . 639014

Da mesma forma, substituindo n = 3 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

p 3 = cos ⁡ P 2

p 3 = 0 . 802683

Da mesma forma, substituindo n = 4 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

p 4 = cos ⁡ P 3

p 4 = 0.6947788

Da mesma forma, substituindo n = 5 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

p 5 = cos ⁡ P 4

p 5 = 0.768195

Da mesma forma, substituindo n = 6 , na expressão (2) iremos encontrar p 2

p 6 = cos ⁡ P 5

p 6 = 0.719166

Agora iremos substituir n = 0 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

q 0 = p 0 - p 1 - p 0 2 p 2 - 2 p 1 + p 0

Substituindo os valores de p 0 ,   p 1   e   p 2 , iremos obter

q 0 = 0.5 - 0 . 87758 - 0.5 2 0 . 6 3 9014 - 2 0 . 8 77 58 + 0.5

q 0 = 0 . 731384

Agora iremos substituir n = 1 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

q 1 = p 1 - p 2 - p 1 2 p 3 - 2 p 2 + p 1

Substituindo os valores de p 1 ,   p 2   e   p 3 , iremos obter

q 1 = 0 . 87758 - 0 . 639014 - 0 . 87758 2 0 . 802683 - 2 0 . 639014 + 0 . 87758

q 1 = 0.736086

Agora iremos substituir n = 2 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

q 2 = p 2 - p 3 - p 2 2 p 4 - 2 p 3 + p 2

Substituindo os valores de p 2 ,   p 3   e   p 4 , iremos obter

q 2 = 0 . 639014 - 0 . 802683 - 0 . 639014 2 0 . 6947788 - 2 0 . 802683 + 0 . 639014

q 2 = 0 . 737652

Agora iremos substituir n = 3 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

q 3 = p 3 - p 4 - p 3 2 p 5 - 2 p 4 + p 3

Substituindo os valores de p 3 ,   p 4   e   p 5 , iremos obter

q 3 = 0 . 802683 - 0 . 6947788 - 0 . 802683 2 0 . 768195 - 2 0 . 6947788 + 0 . 802683

q 3 = 0.73 8468

Agora iremos substituir n = 4 na equação (1) para encontrar o primeiro termo da sequência { q n } .

q 4 = p 4 - p 5 - p 4 2 p 6 - 2 p 5 + p 4

Substituindo os valores de p 4 ,   p 5   e   p 6 , iremos obter

q 4 = 0.6947788 - 0.768195 - 0.6947788 2 0 . 719166 - 2 0 . 768195 + 0 . 6947788

q 4 = 0 . 738797

Logo a sequencia dos primeiros cinco termos da sequencia são:

q 0 = 0.736086

q 1 = 0.736086

q 2 = 0.737652

q 3 = 0.738468

q 4 = 0.73879 7

Resposta

Vide o passo a passo.