Os seguintes sistemas lineares A x = b têm x como solução real e x ~ como solução aproximada.

Usando os resultados do Exercício 1, calcule

x - x ~ ∞   e   K ∞ A b - A x ~ ∞   A ∞

A 1 2 x 1 + 1 3 x 2 = 1 63 1 3 x 1 + 1 4 x 2 = 1 168 x = 1 7 ,   - 1 6 t x ~ = 0.142 ,   - 0.166 t B. 3.9 x 1 + 1.6 x 2 = 5.5 6.8 x 1 + 2.9 x 2 = 9.7 x = 1,1 t x ~ = 0.98 ,   1.1 t

C. x 1 + 2 x 2 = 3 1.0001 x 1 + 2 x 2 = 3.0001 x = 1,1 t x ~ = 0.96 ,     1.02 t D. 1.003 x 1 + 58.09 x 2 = 68.12 5.550 x 1 + 321.8 x 2 = 377.3 x = 10 ,   1 t x ~ = - 10 ,   1 t

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Quando estamos relacionando a norma ∙ ∞ com uma matriz não singular A, nós temos o seguinte termo de condição

K ∞ A = A ∞ ∙ A - 1 ∞

A norma da matriz A com respeito a norma ∙ ∞ é igual a

A ∞ =   max 1 ≤ i ≤ n ⁡ ∑ j = 1 n a i j

Dado essa introdução, vamos responder as questões!!!

Passo 2

A – Dado o seguinte sistema linear, nós temos que

1 2 x 1 + 1 3 x 2 = 1 63 1 3 x 1 + 1 4 x 2 = 1 168

Tem uma solução aproximada de x ~ = 0.142 ,   - 0.166 t e uma solução exata de x = 1 7 ,   - 1 6 t . Agora, temos que

x - x ~ ∞ = max ⁡ 0.142 - 1 7 ,   - 0.166 + 1 6 = 0.00085714  

Do exercício 1, nós temos a seguinte informação

K ∞ A = 50 ,     A ∞ = 5 6

E temos que

A x ~ = 1 2 1 3 1 3 1 4 0.142 - 0.166 = 0.0156667 0.00583333

Com isso, nós temos que

b - A x ~ ∞ = max ⁡ 0.0157 - 1 63 ,   0.00583 - 1 168 = 0.00020635

Isto nos fornece...

K ∞ A b - A x ~ ∞   A ∞ = 50 × 0.33267 5 6 = 0.012381

Passo 3

B – Dado o seguinte sistema linear

3.9 x 1 + 1.6 x 2 = 5.5 6.8 x 1 + 2.9 x 2 = 9.7

Tem a seguinte solução aproximada x ~ = 0.98 ,   1.1 t e a solução exata x = 1,1 t , portanto

x - x ~ ∞ = max ⁡ 1 - 0.98 ,   1 - 1.1 = 0.02

Do problema 1, nós temos que

K ∞ A = 241,3721 ,     A ∞ = 9,7

Com isso, nós temos que

A x ~ = 3,9 1,6 6,8 2,9 0,98 1,1 = 5,582 9,854

E com isso

b - A x ~ ∞ = max ⁡ { 5,582 - 5,5 , 9,854 - 9,7 } = 0,154

Isto nos dá o seguinte resultado

K ∞ A b - A x ~ ∞   A ∞ = 241,3271 × 0,154 9,7 = 3,83209

Passo 4

C – Dado um sistema linear

1,0 x 1 + 2,0 x 2 = 3 1,0001 x 1 + 2,0 x 2 = 3,0001

Tem uma solução aproximada x ~ = 0,96 ,   1,02 t e a solução exata x = 1,1 t . Agora, nós temos que

x - x ~ ∞ = max ⁡ { 1 - 0,96 ,   1 - 1,2 } = 0,04

Isso difere um pouco do problema C do exercício 1

A = 1 2 1,0001 2   e   A - 1 = - 10000 10000 5000,5 - 5000

K ∞ A = 60002 ,     A ∞ = 3,0001  

Com isso, nós temos as seguintes normas

A ∞ = max ⁡ 1 + 2,1 , 0001 + 2 = 3,0001

A - 1 = max ⁡ { - 10000 + 10000 ,   5000,5 + - 5000 } = 20000

Isto finalmente nos dá a resposta de K ∞ ( A ) , portanto

K ∞ A = A ∞ A - 1 ∞ = 60002

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D i g i t e   a   e q u a ç ã o   a q u i .

Resposta

Resposta nos passos