Os seguintes sistemas lineares A x = b têm x como solução real e x ~ como solução aproximada.

Calcular x - x ~ ∞ e A x ~ - b ∞ .

  1. 1 2 x 1 + 1 3 x 2 = 1 63 ;     1 3 x 1 + 1 4 x 2 = 1 168 ;     x = 1 7 , - 1 6 t ;   x ~ = 0.142 ,   - 0.166 t
  2. x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 1 ;     2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = - 1 ;   3 x 1 + 4 x 2 + 6 x 3 = 2 ;     x = 0 , - 7,5 t ;     x ~ = - 0.33 ,   - 7.9 ,   5.8 t .
  3. x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 1 ;     2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = - 1 ;   3 x 1 + 4 x 2 + 6 x 3 = 2 ;     x = 0 , - 7,5 t ;     x ~ = - 0.2 ,   - 7.5 ,   5.4 t .
  4. 0.04 x 1 + 0.01 x 2 - 0.01 x 3 = 0.06 ; 0.2 x 1 + 0.5 x 2 - 0.2 x 3 = 0.3 ; x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 11 ;     x = 1.827586 ,   0.6551724 ,   1.965517 t ;     x ~ = 1.8 ,   0.64 ,   1.9 t

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Vamos primeiramente escrever nosso sistema de equações na forma A x = b , com isso, nós temos que

1 2 1 3 1 3 1 4 x 1 x 2 = 1 63 1 168

Agora, com x ~ , nós obtemos o seguinte resultado

1 2 1 3 1 3 1 4 0.142 - 0.166 - 1 63 1 168 = 1 2 ∙ 0.142 - 1 3 ∙ 0.166 - 1 63 1 3 ∙ 0.142 - 1 4 ∙ 0.166 - 1 168

Logo, temos o seguinte resultado

A x ~ - b = - 13 63000 - 1 8400 ≈ - 0.00021 - 0.00012

Para a norma A x ~ - b ∞ , nós temos que

A x ~ - b ∞ = max ⁡ - 13 63000 ,   - 1 8400 = 13 63000

E para x - x ~ ∞

x - x ~ ∞   =   1 7 1 6 - 0.142 0.166 ∞ = 3 3500 - 1 1500 ∞ = 3 3500 ≈ 0.0008571

Passo 2

B – Mesmo raciocínio da letra a, então como primeiro passo, vamos escrever o sistema de equações

1 2 3 2 3 4 3 4 6 x 1 x 2 x 3 = 1 - 1 2

Agora, nós temos que

A x ~ - b =   1 2 3 2 3 4 3 4 6 - 0.33 - 7.9 5.8 - 1 - 1 2 = 0.27 - 0.16 0.21

Com isso, a norma será o maior valor de A x ~ - b , portanto

A x ~ - b ∞ = 0.27

E para x - x ~ ∞ , nós obtemos o seguinte resultado

x - x ~ ∞   =   0 - 7 5 - - 0.33 - 7.9 5.8 ∞ = 0.33 0.9 - 0.8 ∞ = 0.9

Passo 3

C – Questão extremamente parecida com a letra b, com algumas pequenas mudanças

1 2 3 2 3 4 3 4 6 x 1 x 2 x 3 = 1 - 1 2

Com essa configuração, temos que

A x ~ - b =   1 2 3 2 3 4 3 4 6 - 0.2 - 7.5 5.4 - 1 - 1 2 = 0 - 0.3 - 0.2

Portanto, o maior valor da norma

A x ~ - b ∞ = 0.3

E para x - x ~ ∞ , nós obtemos o seguinte resultado

x - x ~ ∞   =   0 - 7 5 - - 0.2 - 7.5 5.4 ∞ = 0.2 0.5 - 0.4 ∞ = 0.5  

Resposta

Resposta nos passos