Os seguintes sistemas lineares A x = b têm x como solução real e x ~ como solução aproximada.

Usando os resultados do Exercício 2, calcule

x -   x ~ ∞   e   K ∞ A b - A x ~ A ∞

A. 0,03 x 1 + 58,9 x 2 = 59,2 5,31 x 1 - 6,10 x 2 = 47,0 x = 10,1 t   x ~ = 30,0 ,   0,990 t B. 58,9 x 1 + 0,03 x 2 = 59,2 - 6,10 x 1 + 5,31 x 2 = 47 x = 1,10 t   x ~ = 1,02,9 , 98 t

C. x 1 - x 2 - x 3 = 2 π x 2 - x 3 = 3,0001 - x 3 = π x = 0 , - π , - π t   x ~ = - 0,1 ; - 3,15 ;   - 3,14 t D. 0,04 x 1 + 0,01 x 2 - 0,01 x 3 = 0,06 0,2 x 1 + 0,5 x 2 - 0,2 x 3 = 0,3 x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 11 x = 1,827586 ; 0,6551724 ; 1,965517 t   x ~ = 1,8 ; 0,64 ; 1,9 t

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Dado o seguinte linear

0,03 x 1 + 58,9 x 2 = 59,2 5,31 x 1 - 6,10 x 2 = 47,0

Tem como solução aproximada x ~ = 30,0 ; 0,99 t e a solução exata x = 10,1 t , logo

x -   x ~ ∞ = max ⁡ 30 - 10 ,   0,99 - 1 = 20

Do exercício 2(a), nós temos que

K ∞ A = 12 , 24   e   A ∞ = 58,93

Portanto

A x ~ = 0,03 58,9 5,31 - 6,1 30 0,99 = 59,211 153,261

Com isso, nós temos que

b - A x ~ ∞ = max ⁡ 59,211 - 59,2 , 153,261 - 47,0 = 106,261

Juntando todas as informações, nós temos

K ∞ A b - A x ~ A ∞ = 12,240 × 106,291 58,93 = 22,0708

Passo 2

B – Dado o sistema linear

58,9 x 1 + 0,03 x 2 = 59,2 - 6,10 x 1 + 5,31 x 2 = 47,0

Nesse caso, tem a seguinte solução aproximada x ~ = 1,02 ,   9,98 t e a solução exata x = 1,10 t . Agora, temos que

x -   x ~ ∞ = max ⁡ 1,02 - 1 , 9,98 - 10 = 0,02

Do exercício 2(b), nós obtemos que

K ∞ A = 1 2,24   e   A ∞ = 58,93

Agora, vamos calcular b - A x ~ , primeira vamos calcular o seguinte sistema

A x ~ =   58,9 0,03 - 6 , 1 5 , 3 1 1,02 9,98 = 60,3774 46,7718

E nós chegamos ao seguinte resultado

b - A x ~ ∞ = max ⁡ { 60,3774 - 59,2 ,   46,7718 - 47 } = 1,1774

Isto nos fornece

K ∞ A b - A x ~ A ∞ = 12,24 × 1,1774 58,93 = 0,2446

Passo 3

C – Dado o seguinte sistema linear,

x 1 - x 2 - x 3 = 2 π x 2 - x 3 = 0 - x 3 = π

Tem como solução aproximada x ~ = - 0,1 ; - 0,315 ;   - 3,14 t e tem como solução exata x = 0 , - π , - π t . Logo

x -   x ~ ∞ = max ⁡ - 0,10 , - 0,315 - π ,   - 3,14 - π = 2,82659

Do problema 2(c) nós obtemos que

K ∞ A = 12   e   A ∞ = 3

Com isso, nós temos que

A x ~ = 1 - 1 - 1 0 1 - 1 0 0 - 1 - 0,1 - 0,315 - 3,14 = 3,355 2,825 3,14

E com isso, nós temos que

b - A x ~ ∞ = max ⁡ { 3,355 - 2 π ,   2,8250 , 3,14 - π } = 2,92819

Isto nos fornece

K ∞ A b - A x ~ A ∞ = 12 × 2,92819 3 = 11,7128

Passo 4

D – Dado o sistema linear

0,04 x 1 + 0,01 x 2 - 0,01 x 3 = 0,06 0,2 x 1 + 0,5 x 2 - 0,2 x 3 = 0,3 1 x 1 + 2,0 x 2 + 4,0 x 3 = 11

Tem como solução aproximada o seguinte vetor x ~ = 1,8 ; 0,64 ; 1,9 t e a solução exata x = 1,827586 ; 0,6551724 ; 1,965517 t . Portanto

x -   x ~ ∞ = max ⁡ 1,8 - 1,827586 , 0,64 - 0,6551724 ,   1,9 - 1,96551 = 0,06552

Do problema 2(d), nós temos que

K ∞ A = 198,1723   e   A ∞ = 7

Logo

A x ~ = 0,04 0,01 - 0,01 0,2 0,5 - 0,2 1 2 4 1,8 0,64 1,9 = 0,0594 0,3 10,68

E nós temos que

b - A x ~ ∞ = max ⁡ { 0,0594 - 0,06 ,   0,3 - 0,3 , 10,68 - 11 } = 0,32

Isto nos fornece

K ∞ A b - A x ~ A ∞ = 198,7123 × 0,32 7 = 9,05931

Resposta

a )   x -   x ~ ∞ = 20   e   K ∞ A b - A x ~ A ∞ = 22,0708

b )   x -   x ~ ∞ = 0,02   e   K ∞ A b - A x ~ A ∞ = 0,2446

c )   x -   x ~ ∞ = 2,82659   e   K ∞ A b - A x ~ A ∞ = 11,7128

d )   x -   x ~ ∞ =   0,06552   e   K ∞ A b - A x ~ A ∞ = 9,05931