Seja f (x) 5 2x cos (2x) 2 (x 2 2)2 e x0 5 0.
a. Determine o polinômio de Taylor de ordem três P_3(x) e use-o para aproximar f (0,4).
b. Use a fórmula de erro do Teorema de Taylor para determinar um limitante superior para o erro u f (0,4) 2 P3(0,4)|. Calcule o erro real.
c. Determine o polinômio de Taylor de ordem quatro P4 (x) e use-o para aproximar f (0,4).d. Use a fórmula de erro do Teorema de Taylor para determinar um limitante superior para erro u f (0,4) 2 P4(0,4)|. Calcule o erro eral.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Seja .
Agora, contém funções polinomiais e cosseno que são contínuas em todos os lugares.
Portanto, é contínua em todos os lugares.
Assim,
Portanto, o Teorema de Taylor pode ser aplicado para qualquer .
Passo 2
Teorema de Taylor:
Suponha que exista em e . Para cada , existe um número entre e com , onde
E
Aqui é chamado de enésimo polinômio de Taylor para sobre , e é chamado de termo remanescente (ou erro de truncamento) associado a .
Agora,
Passo 3
(a) Para and ,
Temos
Então,
Passo 4
(b) De cima temos,
Portanto,
E
Temos
Agora,
Para
Portanto,
[Desde e ]
Passo 5
Agora, .
Para encontrar o valor máximo, primeiro encontramos a derivada do
Claramente, a derivada é positiva para todos os
Portanto, está aumentando em
Portanto, o valor máximo ocorre no ponto final direito em
Isso é
Assim,
Portanto, o limite superior é
O erro atual é
Passo 6
c) Nós temos
Calculamos para o ponto específico:
E a função para o ponto específico
Passo 7
d) Do resultado da letra c),
então,
E
Nós temos
Passo 8
Agora,
Para
Então,
[Já que ]
Passo 9
Agora,
Para achar o valor máximo, primeiro achamos a derivada de
Claramente, a derivada é negativa para todos
Então, está diminuindo em
Então, o valor máximo acontece a esquerda e termina em
Que é em
Então,
Então, o lime superior é
O erro atual é
Resposta
Resposta nos passos