Seja f (x) 5 2x cos (2x) 2 (x 2 2)2 e x0 5 0.

a. Determine o polinômio de Taylor de ordem três P_3(x) e use-o para aproximar f (0,4).

b. Use a fórmula de erro do Teorema de Taylor para determinar um limitante superior para o erro u f (0,4) 2 P3(0,4)|. Calcule o erro real.

c. Determine o polinômio de Taylor de ordem quatro P4 (x) e use-o para aproximar f (0,4).d. Use a fórmula de erro do Teorema de Taylor para determinar um limitante superior para erro u f (0,4) 2 P4(0,4)|. Calcule o erro eral.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja f x = 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 .

Agora, f x contém funções polinomiais e cosseno que são contínuas em todos os lugares.

Portanto, f x = 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 é contínua em todos os lugares.

Assim, f ∈ C ∞ w

Portanto, o Teorema de Taylor pode ser aplicado para qualquer n   ≥ 0 .

Passo 2

Teorema de Taylor:

Suponha que f ∈ C n a , b , q u e f n + 1 exista em a , b , e x 0 ∈ a , b . Para cada x ∈ a , b , existe um número ξ x entre x 0 e x com f x = P n x + R n x , onde

P n x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + … + f n x 0 n ! x - x 0 n

E

R n x = f n + 1 ξ x n + 1 ! x - x 0 n + 1

Aqui P n x é chamado de enésimo polinômio de Taylor para f sobre x 0 , e R n x é chamado de termo remanescente (ou erro de truncamento) associado a P n x .

Agora,

f x = 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2   f 0 = - 4

f ' x = 2 - 2 x sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x - x - 2   f ' 0 = 6

f ' ' x = 2 - 4 x cos ⁡ 2 x - 4 sin ⁡ 2 x - 1   f ' ' 0 = - 2

f ' ' ' x = 8 2 x sin ⁡ 2 x - 3 cos ⁡ 2 x   f m ' 0 = - 24

f 4 x = 32 x cos ⁡ 2 x + 2 sin ⁡ 2 x   f 4 0 = 0

f 5 x = 32 - 2 x sin ⁡ 2 x + 5 cos ⁡ 2 x   f 5 0 = 160

Passo 3

(a) Para n = 3 and x 0 = 0 ,

Temos

P 3 x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 ! x - 0 2 + f m ' 0 3 ! x - 0 3

Então,

P 3 x = - 4 + 6 x + - 2 2 x 2 + - 24 6 x 3

∴ P 3 x = - 4 + 6 x - x 2 - 4 x 3

P 3 0.4 = - 4 + 6 0.4 - 0.4 2 - 4 0.4 3

∴ P 3 0.4 = - 2.016

f 0.4 = 2 0.4 cos ⁡ 2 0.4 - 0.4 - 2 2

→ f 0.4 = - 2.002634633

∴ f 0.4 ≈ - 2

Passo 4

(b) De cima temos, P 3 x = - 4 + 6 x - x 2 - 4 x 3

Portanto,

P 3 0,4 = - 4 + 6 0,4 - 0,4 2 - 4 0,4 3 = - 2,016

E

f 0,4 = 2 0,4 cos ⁡ 2 0,4 - 0,4 - 2 2 = - 2,002634633

Temos

f 0.4 - P 3 0.4 = R 3 0.4

Agora, R 3 x = f 4 ξ x 4 ! x - 0 4

R 3 x = 32 ξ x cos ⁡ 2 ξ x + 2 sin ⁡ 2 ξ x 24 x 4

R 3 x = x 4 24 ( 32 (   s i n ⁡ ( x )     c o s ⁡ 2     s i n ⁡ ( x ) + 2     s i n ⁡ 2     s i n ⁡ ( x ) ) ) )

Para x = 0,4

R 3 0,4 = 0,4 4 24 ( 32 (   s i n ⁡ ( 0,4 )     c o s ⁡ 2     s i n ⁡ ( 0,4 ) + 2     s i n ⁡ 2     s i n ⁡ ( 0,4 ) ) ) )

Portanto,

R 3 0.4 ≤ max ξ x ∈ 0,0.4 ⁡ 0.4 4 24 32 ξ 0.4 cos ⁡ 2 ξ 0,4 + 2 sin ⁡ 2 ξ 0,4  

R 3 0.4 ≤ 0.4 4 24 32 max ξ x ∈ 0,0.4 ⁡ ξ x cos ⁡ 2 ξ x + 2 sin ⁡ 2 ξ x

R 3 0.4 ≤ 0.4 4 24 32 max ξ x ∈ 0,0.4 ⁡ ξ x 1 + 2 1

[Desde sin ⁡ x ≤ 1 e cos ⁡ x ≤ 1 ]

R 3 0.4 ≤ 0.4 4 24 32 max ξ x ∈ 0,0.4 ⁡ ξ x + 2

Passo 5

Agora, max ξ x ∈ 0,0 , 4 ⁡ ξ x + 2 = valor máximo de  x + 2  em  0,0.4 .

Para encontrar o valor máximo, primeiro encontramos a derivada do ( x + 2 )

d d x x + 2 = 1

Claramente, a derivada é positiva para todos os x ∈ 0,0.4

Portanto, x + 2 está aumentando em 0,0.4

Portanto, o valor máximo ocorre no ponto final direito em 0,0.4

Isso é 0,4

( 0,4 + 2 ) = 0,6

Assim,

f 0.4 - P 3 0.4 ≤ 0,4 4 24 32 0,6

≤ 0,02048

Portanto, o limite superior é 0,02048  

O erro atual é

f 0.4 - P 2 0.4 = - 2.002634633 - - 2.016 = 0.013365367

Passo 6

c) Nós temos

P 4 x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 ! x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 0 3 + f 4 0 4 ! x - 0 4

→ P 4 x = - 4 + 6 x + - 2 2 x 2 + - 24 6 x 3 + 0 24 x 4

→ P 4 x = - 4 + 6 x - x 2 - 4 x 3

Calculamos para o ponto específico:

P 3 0.4 = - 4 + 6 0.4 - 0.4 2 - 4 0.4 3

→ P 3 0.4 = - 2.016  

E a função para o ponto específico

f 0.4 = 2 0.4 cos ⁡ 2 0.4 - 0.4 - 2 2

→ f 0.4 = - 2.002634633  

→ f 0.4 ≈ - 2

Passo 7

d) Do resultado da letra c),

P 4 x = - 4 + 6 x - x 2 - 4 x 3

então,

P 4 0.4 = - 4 + 6 0.4 - 0.4 2 - 4 0.4 3 = - 2.016

E

f 0.4 = 2 0.4 cos ⁡ 2 0.4 - 0.4 - 2 2 = - 2.002634633

Nós temos f 0.4 - P 4 0.4 = R 4 0.4

Passo 8

Agora, R 4 x = f 5 ξ x 5 ! x - 0 5

R 4 x = 32 - 2 ξ x sin ⁡ 2 ξ x + 5 cos ⁡ 2 ξ x 120 x 5

R 4 x = x 5 120 32 - 2 ξ x sin ⁡ 2 ξ x + 5 cos ⁡ 2 ξ x

Para x = 0.4

R 4 0.4 = 0.4 5 120 32 - 2 ξ 0.4 sin ⁡ 2 ξ 0.4 + 5 cos ⁡ 2 ξ 0.4

Então,

R 4 0.4 ≤ max ξ x ∈ 0,0.4 ⁡ 0.4 5 120 32 - 2 ξ x sin ⁡ 2 ξ x + 5 cos ⁡ 2 ξ x

R 4 0.4 ≤ 0.4 5 120 32 max ξ x ∈ 0,0.4 ⁡ - 2 ξ x sin ⁡ 2 ξ x + 5 cos ⁡ 2 ξ x

R 4 0.4 ≤ 0.4 5 120 32 max ξ x ∈ 0,0.4 ⁡ - 2 ξ x 1 + 5 1

[Já que sin ⁡ x ≤ 1 a n d cos ⁡ x ≤ 1 ]

R 4 0.4 ≤ 0.4 5 120 32 max ξ x ∈ 0,0.4 ⁡ - 2 ξ x + 5

Passo 9

Agora,

max ξ x < 0,0.4 ⁡ - 2 ξ x + 5 =  máximo valor de  - 2 x + 5  em  0,0.4

Para achar o valor máximo, primeiro achamos a derivada de

- 2 x + 5 d d x - 2 x + 5 = - 2

Claramente, a derivada é negativa para todos x ∈ 0,0.4

Então, ( - 2   x + 5 ) está diminuindo em [ 0,0.4 ]

Então, o valor máximo acontece a esquerda e termina em [ 0,0.4 ]

Que é em 0

- 2 ( 0 ) + 5 = 5

Então,

f 0.4 - P 4 0.4 ≤ 0.4 5 120 32 5

≤ 0.013653333

Então, o lime superior é 0.013653333

O erro atual é f 0.4 - P 4 0.4 = - 2.002634633 - - 2.016 = 0.013365367

Resposta

Resposta nos passos