Seja f ( x ) = x 3 .

a. Encontre o segundo polinômio de Taylor   P 2 ( x )   sobre x 0 = 0 .

b. Encontre R 2 ( 0,5 )   e o erro real ao usar P 2 ( 0,5 ) para aproximar f ( 0,5 ) .

c. Repita a parte (a) usando x 0 = 1 .

d. Repita a parte (b) usando o polinômio da parte (c).

Passo 1

Fala, pessoal! Prontos para mais um exercício?

Inicialmente, lembrem-se que a função f ( x ) pode ser reescrita da seguinte forma:

f ( x ) = P n ( x ) + R n ( x )

Sendo P n ( x ) o polinômio de Taylor de grau n e R n ( x ) o erro.

Vamos começar pelas letras (a) e (b). Para n = 2 , x 0 = 0   e x = 0,5 , obtemos::

P 2 ( x ) = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 ) + f ' ' ( x 0 ) 2 ( x - x 0 ) 2 = f ( x 0 ) + 3 ( x 0 ) 2 ( x - x 0 ) + 6 x 0 2 ( x - x 0 ) 2

= 0 + 3 ( 0 ) 2 ( x - 0 ) + 3 ( 0 ) ( x - 0 ) 2 = 0   ⇒   P 2 ( 0,5 ) = 0

R 2 ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ( x ) ) ( n + 1 ) ! ( x - x 0 ) n + 1 ⇒ R 2 ( 0,5 ) = f 3 ( ξ ( x ) ) ( 3 ) ! ( 0,5 - 0 ) 3 = 6 6 ( 0,125 ) = 0,125

Como P 2 ( 0,5 ) = 0 , então o erro real é igual ao próprio f ( 0,5 ) , ou seja, de 0 , 5 3 = 0,125 .

Passo 2

Na letra (c) e (d), a ideia será a mesma. Nesse caso, teremos x 0 = 1 , de modo que:

P 2 ( x ) = f ( x 0 ) + 3 ( x 0 ) 2 ( x - x 0 ) + 3 ( x 0 ) ( x - x 0 ) 2 = 1 + 3 ( 1 ) 2 ( x - 1 ) + 3 ( 1 ) ( x - 1 ) 2

= 1 + 3 ( x - 1 ) + 3 ( x - 1 ) 2

R 2 ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ( x ) ) ( n + 1 ) ! ( x - x 0 ) n + 1 ⇒ R 2 ( 0,5 ) = f 3 ( ξ ( x ) ) ( 3 ) ! ( 0,5 - 1 ) 3 = 6 6 ( - 0,125 ) = - 0,125

Note, agora que P 2 ( 0,5 ) = 1 + 3 ( 0,5 - 1 ) + 3 ( 0,5 - 1 ) 2 = 0,25 . Logo, o erro real será dado por:

E r r o   =   f ( 0,5 ) - P 2 ( 0,5 ) = 0,125 - 0,25 = - 0,125

Resposta

  1. P 2 ( x ) = 0
  2. R 2 ( x ) = 0,125 e erro real de 0,125
  3. P 2 ( x ) = 1 + 3 ( x - 1 ) + 3 ( x - 1 ) 2
  4. R 2 ( x ) = - 0,125 e erro real de - 0,125