Seja A uma matriz não singular de ordem n, e sejam u   e   v vetores n-dimensionais.

a) mostre que, se A - u v t - 1 existe, então:

A - u v t - 1 = A - 1 + α A - 1 u v t A - 1 com α = 1 1 - v t A - 1 u

b) dê condições para a existência da inversa A - u v t - 1 .

c) Se A - 1 é conhecida, e B é uma matriz que coincide com A , exceto em uma linha, podemos escolher u   e   v para obter B - 1 (se existir), aplicando a fórmula dada no item a). Sabendo que:

A = 12 - 4 7 - 4 1 - 2 7 - 2 4 ,         A - 1 = 0 - 2 - 1 - 2 1 4 - 1 4 4

e que B coincide com A exceto que em vez de 12 temos 5 , calcule B - 1 .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide Seja A uma matriz não singular de ordem n, e sejam u   e   v vetores n-dimensionais.

a) mostre que, se A - u v t - 1 existe, então:

A - u v t - 1 = A - 1 + α A - 1 u v t A - 1 com α = 1 1 - v t A - 1 u

b) dê condições para a existência da inversa A - u v t - 1 .

c) Se A - 1 é conhecida, e B é uma matriz que coincide com A , exceto em uma linha, podemos escolher u   e   v para obter B - 1 (se existir), aplicando a fórmula dada no item a). Sabendo que:

A = 12 - 4 7 - 4 1 - 2 7 - 2 4 ,         A - 1 = 0 - 2 - 1 - 2 1 4 - 1 4 4

e que B coincide com A exceto que em vez de 12 temos 5 , calcule B - 1 .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha na letra (a) para mostrar que A - u v t - 1 existe, temos

A - u v t - 1 = A - 1 + α A - 1 u v t A - 1 com α = 1 1 - v t A - 1 u

Ficando,

A - u v t - 1 = A - 1 + 1 1 - v t - A - 1 u   A - 1 u v

Logo temos que,

A - u v t - 1 = A - 1 + 1 1 - v t . v

Já na letra (b) as condições para existência da inversa de A - u v t - 1 , fica

A - u v t - 1 = A - 1 + 1 1 - v t . v

Que vai ficar valendo,

A - u v t - 1 = 1 A + 1 1 - v t v

A - u v t - 1 = v . A A 1 - v t

E por fim na letra ( c ) para,

A = 12 - 4 7 - 4 1 - 2 7 - 2 4 ,     A - 1 = 0 - 2 - 1 - 2 1 4 - 1 4 4

Como B = A     e     B - 1 = A - 1 temos,

B = 5 - 4 7 - 4 1 - 2 7 - 2 4

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) A - u v t - 1 = A - 1 + 1 1 - v t . v

b) A - u v t - 1 = v . A A 1 - v t

c) B = 5 - 4 7 - 4 1 - 2 7 - 2 4