A série de Maclaurin para a função arco-tangente converge para 21 , x # 1 e é determinada por arctg x limn ∞∑ nPn(x) limn ∞ i 1 (1) 2 πu , 1023 . ( 1)i 1 x2i 1 2i 1 .a. Use o fato de que tg π/4 5 1 para determinar o número n de termos da série que precisam ser somados para garantir que u4Pnb. A linguagem de programação C11 exige que o valor de π seja conhecido com precisão de 10210 Quantos termos da série seriam necessários somar para obter essa ordem de precisão?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A série Maclaurin para a função arco tangente converge para - 1 < x ≤ 1 e é dada por

t a n - 1 ⁡ x   = l i m n → ∞   P n ( x )   = l i m n → ∞   ∑ i = 1 n     ( - 1 ) i + 1 x 2 i - 1 2 i - 1   = x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + ⋯ + ( - 1 ) i + 1 x 2 i - 1 2 i - 1 + ⋯

Passo 2

Em x = 1 série converge para π 4 desde então, t a n ⁡ π / 4 = 1 assim,

t a n - 1 ⁡ 1   = l i m n → ∞   P n ( 1 ) π 4   = l i m n → ∞   P n ( 1 ) π   = 4 l i m n → ∞   P n ( 1 ) π   = 4 ∑ i = 1 ∞     ( - 1 ) i + 1 1 2 i - 1

Passo 3

a) Agora determine o número n de termos da série que precisa ser somado para garantir que

4 P n ( 1 ) - π < 10 - 3

usando o termo restante da série que é dado por

R n = 4 ( - 1 ) n + 1 x 2 n - 1 2 n - 1

como mostrado abaixo.

Quando x = 1 ocorre erro absoluto máximo e, portanto, o erro relativo máximo é

4 x 2 n - 1 2 n - 1

Passo 4

Para uma precisão decimal de 3 deve x = 1 ser

4 x 2 n - 1 2 n - 1 < 10 - 3

4 2 n - 1 < 10 - 3  

4 2 n - 1 < 1 1000

2 n - 1 4   > 1000 2 n - 1   > 4000 2 n   > 4001 n   > 2000.5

Conclusão: Assim, o número de n termos da série que precisa ser somado até no mínimo 2000

Passo 5

b) Agora determine o número n de termos da série que precisa ser somado para garantir que

4 P n ( 1 ) - π < 10 - 10

usando o termo restante da série que é dado por

R n = 4 ( - 1 ) n + 1 x 2 n - 1 2 n - 1

como mostrado abaixo. Quando x = 1 ocorre erro absoluto máximo e, portanto, o erro relativo máximo é

4 x 2 n - 1 2 n - 1

Passo 6

Para uma precisão decimal de 10 deve x = 1 ser

4 x 2 n - 1 2 n - 1 < 10 - 10

4 2 n - 1 < 10 - 10   4 2 n - 1 < 1 10 10

Continuação do acima

2 n - 1 4   > 10,000,000,000 2 n - 1   > 40,000,000,000 2 n   > 40,000,000,001 n   > 10,000,000,000.5

Conclusão: Assim, o número n de termos da série que precisa ser somado deve ser, pelo menos, deve ser 20,000,000,000

Resposta

a) 2000

b) 20000000000