O sistema linear A x   =   b :

I 1 - a - a 1 x 1 x 2 = b 1 b 2 ,     a ∈ R

pode, sob certas condições, ser resolvido pelo seguinte método iterativo:

I I 1 0 - w a 1 x 1 ( k + 1 ) x 2 ( k + 1 ) = 1 - w w a 0 1 - w x 1 ( k ) x 2 ( k ) + w b 1 w b 2

a) Mostre que se w   =   1 o método iterativo ( I I ) é o método de Gauss-Seidel.

b) Considere em ( I ) ,   a   =   b 1   =   b 2   =   0,5 . Usando o processo iterativo   ( I I ) , com w   =   1 , determine a solução deste sistema com precisão de <   10 - 2 . Tome como vetor inicial x ( 0 ) =   0.9 ,   0.9 t .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide dado um sistema linear A x   =   b :

I 1 - a - a 1 x 1 x 2 = b 1 b 2 ,     a ∈ R

pode, sob certas condições, ser resolvido pelo seguinte método iterativo:

I I 1 0 - w a 1 x 1 ( k + 1 ) x 2 ( k + 1 ) = 1 - w w a 0 1 - w x 1 ( k ) x 2 ( k ) + w b 1 w b 2

a) Mostre que se w   =   1 o método iterativo ( I I ) é o método de Gauss-Seidel.

b) Considere em ( I ) ,   a   =   b 1   =   b 2   =   0,5 . Usando o processo iterativo   ( I I ) , com w   =   1 , determine a solução deste sistema com precisão de <   10 - 2 . Tome como vetor inicial x ( 0 ) =   0.9 ,   0.9 t .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha nessa questão na letra (a) ele pede para mostrar que com w = 1 o método interativo ( I I ) e o método de Gauss-Seidel.

I I 1 0 - w a 1 x 1 ( k + 1 ) x 2 ( k + 1 ) = 1 - w w a 0 1 - w x 1 ( k ) x 2 ( k ) + w b 1 w b 2

I I 1 - w w . a 0 1 - w x 1 k x 2 k + w b 1 w b 2

I I = 0 a 0 0 x 1 k x 2 k + b 1 b 2

Sendo ela de Gauss-Seidel.

Já na letra (b) a solução com sistema de precisão <   10 - 2 ,   x ( 0 ) =   0.9 ,   0.9 t , fica

I = 1 - 0,5 - 0,5 1 0,9 0,9 + 0,5 0,5

Ficando,

- 0,9 - 0,45 + 0,5 = - 0,85

- 0,45 + 0,9 + 0,5 = 0,95

- 0,85 ,   0,95 < 10 - 3

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) ela é Gauss-Seidel.

b) - 0,85 ,   0,95 < 10 - 3