Enunciado

Suponha uma barra de metal homogêneo, como na figura a seguir, onde A B   =   C D   =   4   :   A C   =   B D   =   3 .

A temperatura ao longo de A B , A C , B D é mantida constante e igual a 0 ° C , enquanto que ao longo de C D ela é igual a 1 ° C . A distribuição do calor na barra R obedece à seguinte equação:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Com as condições de contorno:

u x , y = 1     p a r a     0 < x < 4 ,

u x , 0 = 0     p a r a     0 < x < 4 ,

u 0 , y = 1     p a r a     0 < y < 3 ,

u x , y = 0     p a r a     0 < x < 3 ,

A solução numérica desse problema pode ser obtida considerando-se uma divisão do retângulo A B C D em retângulos menores a partir de uma divisão de A B em intervalos iguais de amplitude h e de uma divisão de C D em intervalos iguais de amplitude k , como é mostrado na figura a seguir:

Nessa figura estamos considerando h   =   k   =   1 . A temperatura u nos pontos internos pode ser obtida numericamente simulando as derivadas segundas de ( 5.25 ) , pelas diferen¸cas de segunda ordem ∆ 2 u de modo que para h   =   k , obtemos:

u x - h , y - 2 u x , y + u ( x + h , y ) h 2 + u x , y - h - 2 u x , y + u ( x , y + h ) h 2 0

para cada par ( x , y ) em R. Assim, por exemplo, para o ponto u 1 =   u ( 1 ,   2 ) da figura anterior vale:

u 0,2 - 2 u 1 + u 2 1 2 + u 4 - 2 u 1 + u ( 1,3 ) 1 2 = 0

Considerando todos os pontos da figura anterior obtemos um sistema de 6 equações lineares nas incógnitas: u 1 , u 2 , .   . .   , u 6 . Resolva-o por método numérico à sua escolha, com garantia de convergência.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide Suponha uma barra de metal homogêneo, como na figura a seguir, onde A B   =   C D   =   4   :   A C   =   B D   =   3 .

A temperatura ao longo de A B , A C , B D é mantida constante e igual a 0 ° C , enquanto que ao longo de C D ela é igual a 1 ° C . A distribuição do calor na barra R obedece à seguinte equação:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Com as condições de contorno:

u x , y = 1     p a r a     0 < x < 4 ,

u x , 0 = 0     p a r a     0 < x < 4 ,

u 0 , y = 1     p a r a     0 < y < 3 ,

u x , y = 0     p a r a     0 < x < 3 ,

A solução numérica desse problema pode ser obtida considerando-se uma divisão do retângulo A B C D em retângulos menores a partir de uma divisão de A B em intervalos iguais de amplitude h e de uma divisão de C D em intervalos iguais de amplitude k , como é mostrado na figura a seguir:

Nessa figura estamos considerando h   =   k   =   1 . A temperatura u nos pontos internos pode ser obtida numericamente simulando as derivadas segundas de ( 5.25 ) , pelas diferen¸cas de segunda ordem ∆ 2 u de modo que para h   =   k , obtemos:

u x - h , y - 2 u x , y + u ( x + h , y ) h 2 + u x , y - h - 2 u x , y + u ( x , y + h ) h 2 0

para cada par ( x , y ) em R. Assim, por exemplo, para o ponto u 1 =   u ( 1 ,   2 ) da figura anterior vale:

u 0,2 - 2 u 1 + u 2 1 2 + u 4 - 2 u 1 + u ( 1,3 ) 1 2 = 0

Considerando todos os pontos da figura anterior obtemos um sistema de 6 equações lineares nas incógnitas: u 1 , u 2 , .   . .   , u 6 . Resolva-o por método numérico à sua escolha, com garantia de convergência.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha para resolvermos o método numérico de 6 equações temos que,

u x - h , y - 2 u x , y + u ( x + h , y ) h 2 + u x , y - h - 2 u x , y + u ( x , y + h ) h 2 0

Ficando,

u 0,2 - 2 u 1 + u 2 1 2 + u 4 - 2 u 1 + u ( 1,3 ) 1 2 = 0

Sendo,

u = 1 - 2   x   1 + 4 1 2 + 4 - 2   x   1 + 2 1 2

u = 1 - 2 + 4 1 + 4 - 2 + 2 1 = 2 + 4 = 6

Logo temos a garantia de emergência valendo,

u = 6

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

u = 6