uma. Suponha que 0

b. Faça uma tabela listando 1/n, 1/n2, 1/n3 e 1/n4 para n = 5, 10, 100 e 1000 e discuta o

variando as taxas de convergência dessas sequências à medida que n se torna grande.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Taxa de convergência: Suponha, β n n = 1 ∞ é uma sequência converge para zero e α n n = 1 ∞ é outra sequência que converge para um número real α . Se existe um número real positivo K , α n - α ≤ K β n como então, diz-se que n → ∞ a sequência α n n = 1 ∞ converge para um número real α com taxa, ou ordem, de convergência O β n .

Matematicamente é denotado por α n = α + O β n .

Em geral é representado como α n = α + O 1 / n p para algum número real p > 0 e β n = 1 n p . Se o valor de p é muito grande, então a taxa de convergência da sequência é mais rápida.

Passo 2

a) Para provar que α n = α + O n - q

Dado que 0 < q < p e α n = α + O n - p , consideramos que 0 < q < p

  ⇒ p > q   ⇒ n p > n q   ⇒ 1 n p < 1 n q ⋯ ⋯ ( 1 )

Considerando que α n = α + O n - p isso implica que a sequência α n n = 1 ∞ é dito para convergir para um número real α com taxa, ou ordem, de convergência O n - p

α n   = α + O n - p   ⇒ α n - α ≤ K 1 n p  as  n → ∞   ⇒ α n - α ≤ K 1 n q  as  n → ∞    since,  1 n p < 1 n q  from  ( 1 )   ⇒ α n = α + O n - q

Assim, provamos 😊

Passo 3

b) Tabular a listagem ( 1 / n ) , 1 / n 2 , 1 / n 3 , e 1 / n 4 , para n = 5 ,   10 ,   100 e 1000 como mostrado abaixo.

Da tabela acima, ele infere que O 1 n 4 converge a uma velocidade mais rápida.

Resposta

Resposta nos passos.