Suponha que uma membrana com dimensões 80   c m   ×   80   c m tenha cada um dos seus lados mantidos a uma temperatura constante. Usando a teoria de equações diferenciais parciais pode-se formular uma equação que determina o valor da temperatura no interior dessa membrana. Essa equação diferencial pode ser simplificada colocando-se uma malha com 9 pontos sobre essa membrana e calculando-se a temperatura nos pontos da malha, como mostra a figura:

onde u 1 , u 2 , . . . , u 9 são os valores da temperatura em cada ponto da malha. O sistema de equações resultante ´e dado por:

Encontre a solução do sistema por método numérico à sua escolha, com garantia de convergência.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide supondo que uma membrana com dimensões 80   c m   ×   80   c m tenha cada um dos seus lados mantidos a uma temperatura constante. Usando a teoria de equações diferenciais parciais pode-se formular uma equação que determina o valor da temperatura no interior dessa membrana. Essa equação diferencial pode ser simplificada colocando-se uma malha com 9 pontos sobre essa membrana e calculando-se a temperatura nos pontos da malha, como mostra a figura:

onde u 1 , u 2 , . . . , u 9 são os valores da temperatura em cada ponto da malha. O sistema de equações resultante ´e dado por:

Encontre a solução do sistema por método numérico à sua escolha, com garantia de convergência.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera nessa questão ele pede para determinarmos a solução do sistema por método numérico sendo com base nas imagens do passo anterior que,

u 1 = 50 u 4 = 100 u 7 = 50

u 2 = 50 u 5 = 100 u 8 = 50

u 3 = 50 u 6 = 100 u 9 = 50

Ficando,

u 1 = 50 - 50 = 0 u 6 = 100 - 100 = 0

u 2 = 50 - 50 = 0 u 7 = 50 - 50 = 0

u 3 = 50 - 150 = - 100 u 8 = 50 - 50 = 0

u 4 = 100 - 0 = 100 u 9 = 50 - 150 = - 100

u 5 = 100 - 0 = 100

Com isso temos que,

u = ( 0 ,   0 ,   - 100 ,   100 ,   100 ,   0 ,   0 ,   0 , - 100 )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

u = ( 0 ,   0 ,   - 100 ,   100 ,   100 ,   0 ,   0 ,   0 , - 100 )