Suponha que p é um zero de multiplicidade m de f , onde f (m) é contínua em um intervalo aberto contendo

pág. Mostre que o seguinte método de ponto fixo tem g (p) = 0:

g(x) = x −

mf (x)

f(x)

.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O objetivo é mostrar que o seguinte método de ponto fixo tem g ' ( p ) = 0 .

Considere que p é um zero da função f ( x ) com multiplicidade m , portanto,

f ( x ) = ( x - p ) m g ( x ) , g ( p ) ≠ 0

Pegue a derivada,

f ' ( x ) = m ( x - p ) m - 1 g ( x ) + ( x - p ) m g ' ( x )

Considere o método de ponto fixo,

g ( x ) = x - m f ( x ) f ' ( x )

Para este considerar,

g ( x )   = x - m ( x - p ) m g ( x ) m ( x - p ) m - 1 g ( x ) + ( x - p ) m g ' ( x )   = x - ( x - p ) g ( x ) g ( x ) + 1 m ( x - p ) g ' ( x )   = x - ( x - p ) 1 + 1 m ( x - p ) g ' ( x ) g ( x )

Passo 2

Use o método de iteração de ponto fixo,

x n + 1 = x n - x n - p 1 + 1 m x n - p g ' x n g x n

Então

x n + 1 = g x n

E

y n = x n - p

Portanto

y n + 1 = y n 1 - 1 + 1 m y n g ' a + y n g a + y n - 1

Expandir a expressão acima com a ajuda da expansão binomial,

y n + 1   = y n 1 - 1 - 1 m y n g ' a + y n g a + y n - O y n 2   = y n 2 1 m y n g ' a + y n g a + y n + O y n 2   ≈ y n 2 1 m y n g ' a + y n g a + y n

Portanto, sua iteração deve ter uma convergência de segunda ordem, portanto, usando o método de iteração de ponto fixo este método deve convergir para um ponto fixo de tal forma que g ' ( p ) = 0 .

Por isso, provamos.

Resposta

Resposta nos passos.