Suponha que você precise construir tabelas de oito casas decimais para o logaritmo comum ou de base 10

função de x = 1 a x = 10 de tal forma que a interpolação linear seja precisa dentro de 10−6.

Determine um limite para o tamanho do passo para esta tabela. Que escolha de tamanho de passo você faria para garantir

que x = 10 está incluído na tabela?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Suponha que h esse seja o tamanho do passo para a mesa.

Então em um subintervalo x 0 , x 0 + h de [ 1,10 ] de p 1 ( x ) , o polinômio interpolante de primeiro grau f ( x ) = l o g 10 ⁡ x deve f ( x ) aproximar-se 10 - 6 de dentro x 0 , x 0 + h .

Considerar

f ( x ) = l o g 10 ⁡ x

Então

f ( x )   = l o g ⁡ x l o g ⁡ ( 10 )   = 1 l o g ⁡ ( 10 ) [ l o g ⁡ ( x ) ] f ' ( x )   = 1 x l o g ⁡ ( 10 ) f ' ' ( x )   = 1 l o g ⁡ ( 10 ) d d x 1 x f ' ' ( x )   = - 1 x 2 l o g ⁡ ( 10 )

Passo 2

O erro neste polinômio de interpolação linear é:

f ( x ) - p 1 ( x )   = f ' ' ( ξ ) 2 x - x 0 x - x 0 - h   = - 1 2 1 ξ 2 l n ⁡ ( 10 ) x 2 - x x 0 - x h - x 0 x + x 0 2 + x 0 h   = - 1 2 1 ξ 2 l n ⁡ ( 10 ) x 2 - 2 x x 0 - x h + x 0 2 + x 0 h   = - 1 2 1 ξ 2 l n ⁡ ( 10 ) x 2 - x 2 x 0 + h + x 0 x 0 + h

Aqui, ξ ∈ x 0 , x 0 + h .

Passo 3

Examinando os pontos finais x 0 , x 0 + h e o número crítico deste x - x 0 x - x 0 - h intervalo.

O valor máximo deste x - x 0 x - x 0 - h intervalo é 0, e o valor mínimo é - h 2 4

Segue-se que, no intervalo [ 1,10 ] , vincula o erro da seguinte forma:

f ( x ) - p 1 ( x )   = - 1 2 1 ξ 2 l n ⁡ 10 x 2 - x 2 x 0 + h + x 0 x 0 + h   ≤ 1 2 l n ⁡ 10 h 2 4   ≤ h 2 8 l n ⁡ 10

Portanto, para que o erro seja limitado, 10 - 6 tem h ≤ 0.00429193 .

Portanto, conclua que é h = 0.004 uma escolha razoável de um tamanho de passo.

Resposta

h = 0.004 uma escolha razoável de um tamanho de passo