Enunciado

Numa treliça estaticamente determinada com juntas articuladas, como dada na figura a seguir:

a tensão, ( F i   ) , em cada componente pode ser obtida da seguinte equação matricial:

Observe que as equações são obtidas fazendo-se a soma de todas as forças horizontais ou verticais em cada junta igual a zero. Além disso a matriz dos coeficientes é bastante esparsa, e assim um candidato natural é o método de Gauss-Seidel.

a) As equações podem ser rearranjadas de modo a se obter uma matriz estritamente diagonalmente dominante?

b) E o sistema convergente se iniciarmos com um vetor com todas as componentes iguais a zero?

c) Resolva o sistema pelo método de Gauss-Seidel, partindo do vetor nulo e obtendo a solução com precisão de 10 - 4 .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide uma treliça estaticamente determinada com juntas articuladas, como dada na figura a seguir:

a tensão, ( F i   ) , em cada componente pode ser obtida da seguinte equação matricial:

Observe que as equações são obtidas fazendo-se a soma de todas as forças horizontais ou verticais em cada junta igual a zero. Além disso a matriz dos coeficientes é bastante esparsa, e assim um candidato natural é o método de Gauss-Seidel.

a) As equações podem ser rearranjadas de modo a se obter uma matriz estritamente diagonalmente dominante?

b) E o sistema convergente se iniciarmos com um vetor com todas as componentes iguais a zero?

c) Resolva o sistema pelo método de Gauss-Seidel, partindo do vetor nulo e obtendo a solução com precisão de 10 - 4 .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha na letra (a) para determinarmos quantas equações podem ser rearranjadas de modo a se obter uma matriz estritamente diagonal temos,

0,7071 F 1 + F 2 + 0,8660 F 3 + F 4 + F 5 + F 6 + F 7 + F 8 + F 9 = 0 0,7071 - F 2 + F 3 + F 4 - F 5 - F 6 + F 7 - F 8 + F 9 = 0

Já na letra (b) a resposta é sim pois se iniciarmos todas a componentes com zero seu sistema tende a ser convergente ficando maior que zero.

E na letra ( c ) partindo do vetor nulo temos,

0,7071 0 0,7071 0 = 0 - 1000

Temos sistema igual a zero com valor mínimo igual a - 10 - 2   e   10 - 4

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) 0,7071 F 1 + F 2 + 0,8660 F 3 + F 4 + F 5 + F 6 + F 7 + F 8 + F 9 = 0 0,7071 - F 2 + F 3 + F 4 - F 5 - F 6 + F 7 - F 8 + F 9 = 0

b) sim pois se iniciarmos todas a componentes com zero seu sistema tende a ser convergente ficando maior que zero.

c) a zero com valor mínimo igual a - 10 - 2   e   10 - 4