Use a fórmula de diferença inversa de Newton para construir polinômios de interpolação de grau um, dois e três para os dados a seguir. Aproxime o valor especificado usando cada um dos polinômios.

a .   f ( - 1 / 3 )   s e   f ( - 0.75 ) = - 0.07181250 ,   f ( - 0.5 ) = - 0.02475000 ,   f ( - 0.25 ) = 0.33493750 ,   f ( 0 ) = 1.1010000 0

b .   f ( 0.25 )   s e   f ( 0.1 ) = - 0.62049958 ,   f ( 0.2 ) = - 0.28398668 ,   f ( 0.3 ) = 0.00660095 ,   f ( 0.4 ) = 0.24842440

Passo 1

E ai seres de luz, tudo bem?

Bora resolver mais uma?

Encostaaa!!

  1. Considerando os seguintes dados
  2. f x 0 = f - 0.75

    = - 0.07181250

    f x 1 = f - 0.5

    = - 0.02475000

    f x 2 = f - 0.25

    = 0.33493750

    f x 3 = f 0

    = 1.10100000

    A fórmula da diferença inversa de Newton é

    p n x = f x n + ∑ k = 1 n - 1 n - s k ∇ k f ( x n )

    O espaçamento h é

    0 - - 0.75 3 = 0.75 3 = 0.25

    Logo

    s = x - 0 0.25 = 4 x

    Passo 2

    Calcularemos as diferenças para trás ∇ k f ( x 3 ) para k = 1 , 2,3   c o m o   s e g u e

    ∇ f x 3 = f x 3 - f x 2

    = f 0 - f - 0.25

    = 1.101000 - 0.33493750

    = 0.7660625

    ∇ 2 f x 3 = f x 3 - 2 f x 2 + f x 1

    = f 0 - 2 f - 0.25 + f ( - 0.5 )

    = 1.101000 - 2 0.33493750 + ( - 0.02475000 )

    = 0.406375

    ∇ 3 f x 3 = f x 3 - 3 f x 2 + 3 f x 1 - f ( x 0 )

    = f 0 - 3 f - 0.25 + 3 f - 0.5 - f ( - 0.75 )

    = 1.101000 - 3 0.33493750 + 3 - 0.02475000 - ( - 0.07181250 )

    = 0.09375

    Passo 3

    Logo

    p n x = f x n + ∑ k = 1 n - 1 n - s k ∇ k f ( x n )

    p 1 s = f x 3 + s ∇ f ( x 3 )

    = 1.101 + 0.766025 s

    f - 1 3 ≈ p 1 - 4 3

    = 1.101 + 0.7660625 4 - 1 3

    = 0.07958333

    p 2 s = p 1 s + s s + 1 2 ∇ 2 f ( x 0 )

    = p 1 s + 0.406375 s s + 1 2

    f - 1 3 ≈ p 2 - 1 3

    = p 1 - 1 3 + 4 - 1 3 4 - 1 3 + 1 2 ( 0.406375 )

    = 0.07958333 + - 4 3 - 4 3 + 1 0.406375 2

    = 0.1698889

    p 3 s = p 2 s + s s + 1 s + 2 6 ∇ 3 f ( x 0 )

    = p 2 s + 0.09375 s s + 1 s + 2 6

    f - 1 3 ≈ p 3 - 1 3

    = p 2 - 1 3 + 4 - 1 3 4 - 1 3 + 1 4 - 1 3 + 2 6 ( 0.09375 )

    p 3 = 0.1745185

    Passo 4

  3. Considerando os seguintes dados

f x 0 = f 0.1

= - 0.62049958

f x 1 = f 0.2

= - 0.28398668

f x 2 = f 0.3

= 0.00660095

f x 3 = f 0.4

= 0.24842440

A fórmula da diferença inversa de Newton é

p n x = f x n + ∑ k = 1 n - 1 n - s k ∇ k f ( x n )

O espaçamento h é

0.4 - 0.1 3 = 0.3 3 = 0.1

Logo

s = x - 0.4 0.1 = 10 x - 4

Passo 2

Calcularemos as diferenças para trás ∇ k f ( x 3 ) para k = 1 , 2,3   c o m o   s e g u e

∇ f x 3 = f x 3 - f x 2

= f 0 . 4 - f 0.3

= 0.24842440 - 0.00660095

= 0 . 2418235

∇ 2 f x 3 = f x 3 - 2 f x 2 + f x 1

= f 0 . 4 - 2 f 0.2 + f ( 0.2 )

= 0.24842440 - 2 ( 0.00660095 ) + ( - 0 . 28398668 )

= - 0.004876419

∇ 3 f x 3 = f x 3 - 3 f x 2 + 3 f x 1 - f ( x 0 )

= f 0 . 4 - 3 f 0.3 + 3 f 0.2 - f ( 0.1 )

= 0.24842440 - 3 ( 0.00660095 ) + 3 ( - 0.28398668 ) - ( 0.62049958 )

= - 0.00283891

Passo 3

Logo

p n x = f x n + ∑ k = 1 n - 1 n - s k ∇ k f ( x n )

p 1 s = f x 3 + s ∇ f ( x 3 )

= 0.2484244 + 0.2418235 s

f 0.25 ≈ p 1 - 1.5

= 061484244 + 0.2418235 ( 10 0.25 - 4 )

= - 0.1143108

p 2 s = p 1 s + s s + 1 2 ∇ 2 f ( x 0 )

= p 1 s - 0.04876419 s s + 1 2

f 0.25 ≈ p 2 0.25

= p 1 0.25 + ( 10 0.25 - 4 )   ( 10 0.25 - 4 ) + 1   2 ( 0 . 04876419 )

= - 0.1325973

p 3 s = p 2 s + s s + 1 s + 2 6 ∇ 3 f ( x 0 )

= p 2 s - 0.00283891 s s + 1 s + 2 6

f 0.25 ≈ p 3 0.25

= p 2 0.25 + 10 0.25 - 4 10 0.25 - 4 + 1 10 0.25 - 4 + 2 6 ( 0.00283891 )

p 3 = - 0.1327748

Resposta

Vide o passo a passo.