Use a fórmula de diferença inversa de Newton para construir polinômios de interpolação de grau um, dois e três para os dados a seguir. Aproxime o valor especificado usando cada um dos polinômios.

a .   f ( 0.43 )   s e   f ( 0 ) = 1 ,   f ( 0 . 2 5 ) = 1.64872 ,   f ( 0 . 5 ) = 2.71828 ,   f ( 0 . 75 ) = 4.48169

b .   f ( 0.25 )   s e   f ( - 1 ) = 0.86199480 ,   f ( - 0.5 ) = 0.95802009 ,   f ( 0 ) = 1.0986123 ,   f ( 0.5 ) = 1.294376 7

Passo 1

Falaiii meus amores, cêis tão suave?

Bora pra mais uma??

Então, encostaa!!

  1. Considerando os seguintes dados
  2. f x 0 = f 0

    = 1

    f x 1 = f 0.25

    = 1.64872

    f x 2 = f 0.5

    = 2.71828

    f x 3 = f 0 . 75

    = 4.48169

    A fórmula da diferença inversa de Newton é

    p n x = f x n + ∑ k = 1 n - 1 n - s k ∇ k f ( x n )

    O espaçamento h é

    0.75 - 0 3 = 0.75 3 = 0.25

    Logo

    s = x - 0 . 75 0.25 = 4 x - 3

    Passo 2

    Calcularemos as diferenças para trás ∇ k f ( x 3 ) para k = 1 , 2,3   c o m o   s e g u e

    ∇ f x 3 = f x 3 - f x 2

    = f 0 . 75 - f - 0.5

    = 4.48169 - 2.71828

    = 1.76341

    ∇ 2 f x 3 = f x 3 - 2 f x 2 + f x 1

    = f 0 . 75 - 2 f 0.5 + f ( 0.25 )

    = 4.48169 - 2 2.71828 + 1.64872

    = 0.69385

    ∇ 3 f x 3 = f x 3 - 3 f x 2 + 3 f x 1 - f ( x 0 )

    = f 0 . 75 - 3 f 0.5 + 3 f 0.25 - f ( 0 )

    = 4.48169 - 3 2.71828 + 3 1.64872 - 1

    = 0.27301

    Passo 3

    Logo

    p n x = f x n + ∑ k = 1 n - 1 n - s k ∇ k f ( x n )

    p 1 s = f x 3 + s ∇ f ( x 3 )

    = 1.48169 + 1.76341 s  

    p 1 0.43 = 1.48169 + 1.76341 ( 4 0.43 - 3 )

    = 2.224545200

    p 2 s = p 1 s + s s + 1 2 ∇ 2 f ( x 0 )

    = p 1 s + 0.69385 s s + 1 2

    = p 1 s + 0.346925 s ( s + 1 )

    p 2 0.43 = p 1 0.43 + ( 4 0.43 - 3 ) ( 4 0.43 - 3 + 1 ) ( 0.246925 )

    = 2.348863120

    p 3 s = p 2 s + s s + 1 s + 2 6 ∇ 3 f ( x 0 )

    = p 2 s + 0.27301 s s + 1 s + 2 6

    = p 2 s + 0.0455016667 s ( s + 1 ) ( s + 2 )

    p 3 0.43 = p 2 0.43 - ( 4 0.43 - 3 ) ( 4 0.43 - 3 + 1 ) ( 4 0.43 - 3 + 2 ( 0.0455016667 )

    p 3 = 2.360604734

    Passo 4

  3. Considerando os seguintes dados

f x 0 = f - 1

= 0.86199480

f x 1 = f - 0.5

= 0.95802009

f x 2 = f 0

= 1.0986123

f x 3 = f 0.5

= 1.2943767

A fórmula da diferença inversa de Newton é

p n x = f x n + ∑ k = 1 n - 1 n - s k ∇ k f ( x n )

O espaçamento h é

0 . 5 - ( - 1 ) 3 = 0.5 + 1 3 = 0.5

Logo

s = x - 0 . 5 0 . 5 = 2 x - 1

Passo 2

Calcularemos as diferenças para trás ∇ k f ( x 3 ) para k = 1 , 2,3   c o m o   s e g u e

∇ f x 3 = f x 3 - f x 2

= f 0 . 5 - f 0

= 1.2943767 - 1.0986123

= 0.1957644

∇ 2 f x 3 = f x 3 - 2 f x 2 + f x 1

= f 0 . 5 - 2 f 0 + f ( - 0 . 5 )

= 1.2943767 - 2 1.0986123 + 0.95802009

= 0.05517219

∇ 3 f x 3 = f x 3 - 3 f x 2 + 3 f x 1 - f ( x 0 )

= f 0 . 5 - 3 f 0 + 3 f - 0 . 5 - f ( - 1 )

= 1.2943767 - 3 1.0986123 + 3 ( 0.95802009 ) - ( 0.86199480 )

= 0.01060527

Passo 3

Logo

p n x = f x n + ∑ k = 1 n - 1 n - s k ∇ k f ( x n )

p 1 s = f x 3 + s ∇ f ( x 3 )

= 1.2943767 + 0.1957644 s

p 1 0.25 = 1.2943767 + 0.1957644 2 0.25 - 1

p 1 = 1.196494500

p 2 s = p 1 s + s s + 1 2 ∇ 2 f ( x 0 )

= p 1 s + 0.05517219 s s + 1 2

= p 1 s + 0.027586095 s ( s + 1 )

p 2 ( 0.25 ) = p 1 0.25 + 0.027586095 2 0.25 - 1 2 0.25 - 1 ) + 1 )

p 2 = 1.18597976

p 3 s = p 2 s + s s + 1 s + 2 6 ∇ 3 f ( x 0 )

= p 2 s + 0.01060527 s s + 1 s + 2 6

= p 2 s + 0.001767545 s ( s + 1 ) ( s + 2 )

= p 2 s + 0.001767545 ( 2 0.25 - 1 ) ( 2 0.25 - 1 + 1 ) ( 2 0.25 - 1 + 2 )

p 3 0.25 = 1.188935147

Resposta

Vide o passo a passo.