Use o método de Euler modificado para aproximar as soluções para cada um dos seguintes valores iniciais problemas e comparar os resultados com os valores reais

  1. y ' = e t - y 0 ≤ t ≤ 1 , y 0 = 1 com h = 0.5 ; solução atual y t = ln ⁡ ( e t + e - 1 ) .
  2. y ' = 1 + t 1 + y ,   1 ≤ t ≤ 2 ,   y 1 = 2 ,   c o m   h = 0.5 ; s o l u ç ã o   a t u a l   y t = t 2 + 2 t + 6 - 1 .
  3. y ’ = - y + t y 1 2     2 ≤ t ≤   3   ,   y 2 = 2 ,   c o m   h = 0.25 ; s o l u ç ã o   a t u a l   y t = t - 2 + 2 e e - t 2 .
  4. y ' = t - 2 sin ⁡ 2 t - 2 t y ,   1 ≤ t ≤ 2 ,     y 1 = 2 ,   c o m   h = 0.25 ,   s o l u ç ã o   a t u a l   y t = 1 2 t - 2 4 + cos ⁡ 2 - cos ⁡ 2 t

Passo 1

Falaiii meus amores, cêis tão suave?

Bora pra mais uma??

Então, encostaa!!

  1. Para o problema de valor inicial, temos

y ' = e t - y 0 ≤ t ≤ 1 , y 0 = 1 com h = 0.5

A solução exata dada é

y t = log ⁡ ( e t + e - 1 )

Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

Para obter

f t , y = e t - y ,   a = w 0 = y 0 = 0 ,   t 0 = a = 0 ,   b = 1

Onde

t i = t 0 + h ⋅ i

= 0 + 0.5 ⋅ i

= 0.5 i

O método de Euler modificado de ordem dois é

w 0 = α

w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

Agora

w 0 = 0

Logo

w i + 1 = w i + 0.5 2 f 0.5 × i ,   w i + f 0.5 × i + 1 , w i + 0.5 × f 0.5 × i , w i

w i = w 0 + 0.5 2 f 0.5 × 0 , w 0 + f 0.5 × 0 + 1 ,   w 0 + 0.5 × f 0.5 × 0 , w 0

= 1 + 0.5 2 f 0,1 + f 0.5,1 + 0.5 × f 0,1

= 1.21813

w 2 = w i + 0.5 2 f 0.5 × 1 ,   w 1 + f 0.5 × 1 + 1 , w 1 + 0.5 × f 0.5 × 1 , w 1

= 1.21813 + 0.5 2 f 0.5 ,   1.21813 + f 1 , 1.21813 + 0.5 × f 0.5,1.21813

= 1.49755

A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

Passo 2

  1. Para o problema de valor inicial, temos
  2. y ' = 1 + t 1 + y ,   1 ≤ t ≤ 2 ,   y 1 = 2 ,   c o m   h = 0.5

    A solução exata dada é

    y t = t 2 + 2 t + 6 - 1

    Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

    y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

    Para obter

    f t , y = 1 + t 1 + y ,   a = w 0 = y 0 = 2 ,   t 0 = a = 1 ,   b = 2

    Onde

    t i = t 0 + h ⋅ i

    = 1 + 0.5 ⋅ i

    = 1 + 0.5 i

    O método de Euler modificado de ordem dois é

    w 0 = α

    w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

    Agora

    w 0 = 2

    Logo

    w i + 1 = w i + 0.5 2 f 2 + 0.5 × i ,   w i + f 2 + 0.5 × i + 1 , w i + 0.5 × f 2 + 0.5 × i , w i

    w i = w 0 + 0.5 2 f 1 + 0.5 × 0 , w 0 + f 1 + 0.5 × 0 + 1 ,   w 0 + 0.5 × f 1 + 0.5 × 0 , w 0

    = 2 + 0.5 2 f 1,2 + f 1 . 5 , 2 + 0.5 × f 1,2

    = 2.35417

    w 2 = w i + 0.5 2 f 2 + 0.5 × 1 ,   w 1 + f 2 + 0.5 × 1 + 1 , w 1 + 0.5 × f 2 + 0.5 × 1 , w 1

    = 2.35417 + 0.5 2 f 1.5,2.35417 + f 2,2.35417 + 0.5 × f 1.5,2.35417

    = 2 . 74175

    A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

    Passo 3

  3. Para o problema de valor inicial, temos
  4. y ’ = - y + t y 1 2     2 ≤ t ≤   3   ,   y 2 = 2 ,   c o m   h = 0.25 ;

    A solução exata dada é

    y t = t - 2 + 2 e e - t 2 .

    Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

    y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

    Para obter

    f t , y = - y + t y 1   / 2 ,   a = w 0 = y 0 = 2 ,   t 0 = a = 2 ,   b = 3

    Onde

    t i = t 0 + h ⋅ i

    = 2 + 0.25 ⋅ i

    = 2 + 0.25 i

    O método de Euler modificado de ordem dois é

    w 0 = α

    w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

    Agora

    w 0 = 0

    Logo

    w i + 1 = w i + 0.25 2 f 2 + 0.25 × i ,   w i + f 2 + 0.25 × i + 1 , w i + 0.25 × f 2 + 0.25 × i , w i

    w i = w 0 + 0.25 2 f 2 + 0.25 × 0 , w 0 + f 2 + 0.25 × 0 + 1 ,   w 0 + 0.25 × f 2 + 0.25 × 0 , w 0

    = 2 + 0.25 2 f 2 , 2 + f 2 . 25,2 + 0.25 × f 2 , 2

    = 2 . 2455

    w 2 = w i + 0.25 2 f 2 + 0.25 × 1 ,   w 1 + f 2 + 0.25 × 1 + 1 , w 1 + 0.25 × f 2 + 0.25 × 1 , w 1

    = 2 . 2455 + 0.25 2 f 2 . 25,2 . 2455 + f 2 . 5,2 + 0.25 × f 2 . 25,2 . 2455

    = 2.56716

    A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

    Passo 4

  5. Para o problema de valor inicial, temos

y ' = t - 2 sin ⁡ 2 t - 2 t y ,   1 ≤ t ≤ 2 ,     y 1 = 2 ,   c o m   h = 0.25 ,    

A solução exata dada é

y t = 1 2 t - 2 4 + cos ⁡ 2 - cos ⁡ 2 t

Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

Para obter

f t , y = t - 2 ( sin ⁡ 2 t - 2 t y ) ,   a = w 0 = y 0 = 2 ,   t 0 = a = 1 ,   b = 2

Onde

t i = t 0 + h ⋅ i

= 1 + 0.25 ⋅ i

= 1 + 0.25 i

O método de Euler modificado de ordem dois é

w 0 = α

w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

Agora

w 0 = 1

Logo

w i + 1 = w i + 0.25 2 f 1 + 0.25 × i ,   w i + f 1 + 0.25 × i + 1 , w i + 0.25 × f 1 + 0.25 × i , w i

w i = w 0 + 0.25 2 f 1 + 0.25 × 0 , w 0 + f 1 + 0.25 × 0 + 1 ,   w 0 + 0.25 × f 1 + 0.25 × 0 , w 0

= 2 + 0 . 2 5 2 f 1,2 + f 1.25,2 + 0.25 × f 1,2

= 1 . 41608

w 2 = w i + 0.25 2 f 1 + 0.25 × 1 ,   w 1 + f 1 + 0.25 × 1 + 1 , w 1 + 0.25 × f 1 + 0.25 × 1 , w 1

= 1 . 41608 + 0.25 2 f 1 . 25,1 . 41608 + f 1 . 5 , 1.41608 + 0.25 × f 1 . 25,1 . 41608

= 1 . 03101

A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

Resposta

Vide a explicação.