Use o método de Euler modificado para aproximar as soluções para cada um dos seguintes valores iniciais problemas e comparar os resultados com os valores reais

  1. y ' = t e 3 t - 2 y , 0 ≤ t ≤ 1 , y 0 = 0 com h = 0.5 ; solução atual y t = 1 5 t e 3 t - 1 25 e 3 t + 1 25 e - 2 t .
  2. y ' = 1 + t - y 2 ,   2 ≤ t ≤ 3 ,   y 2 = 1 ,   c o m   h = 0.5 ; s o l u ç ã o   a t u a l   y t = t + 1 1 - t .
  3. y ’ = 1 + y t ,   1 ≤ t ≤   2   ,   y 1 = 2 ,   c o m   h = 0.25 ; s o l u ç ã o   a t u a l   y t = t ln ⁡ t + 2 t .
  4. y ' = cos ⁡ 2 t + sin ⁡ 3 t ,     0 ≤ t ≤ 1 ,     y 0 = 1 ,   c o m   h = 0.25 ,   s o l u ç ã o   a t u a l   y t = 1 2 sin ⁡ 2 t - 1 3 cos ⁡ 3 t + 4 3 .

Passo 1

E ai seres de luz, tudo bem?

Bora resolver mais uma?

Encostaaa!!

  1. Para o problema de valor inicial, temos
  2. y ' = t e 3 t - 2 y , 0 ≤ t ≤ 1 , y 0 = 0 com h = 0.5

    A solução exata dada é

    y t = t e 3 t 5 - e 3 t 25 + e - 2 t 25

    Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

    y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

    Para obter

    f t , y = t e 3 t - 2 y ,   a = w 0 = y 0 = 0 ,   t 0 = a = 0 ,   b = 1

    Onde

    t i = t 0 + h ⋅ i

    = 0 + 0.5 ⋅ i

    = 0.5 i

    O método de Euler modificado de ordem dois é

    w 0 = α

    w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

    Agora

    w 0 = 0

    Logo

    w i + 1 = w i + 0.5 2 f 0.5 × i ,   w i + f 0.5 × i + 1 , w i + 0.5 × f 0.5 × i , w i

    w i = w 0 + 0.5 2 f 0.5 × 0 , w 0 + f 0.5 × 0 + 1 ,   w 0 + 0.5 × f 0.5 × 0 , w 0

    = 0 + 0.5 2 f 0,0 + f 0.5,0.5 × 0,0

    = 0.5 2 0 + f 0.5,0.5 × 0

    = 0.5 2 0 + f 0.5,0

    = 0.5 2 0 + 2.240844535

    = 0.560211

    w 2 = w i + 0.5 2 f 0.5 × 1 ,   w 1 + f 0.5 × 1 + 1 , w 1 + 0.5 × f 0.5 × 1 , w 1

    = 0.560211 + 0.5 2 f 0.5 ,   0.560211 + f 1,0.560211 + 0.5 × f 0.5,0.562011

    = 5.30149

    A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

    Passo 2

  3. Para o problema de valor inicial, temos
  4. y ’ = 1 + y t ,   1 ≤ t ≤   2   ,   y 1 = 2 ,   c o m   h = 0.25

    A solução exata dada é

    y t = t + 1 1 - t

    Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

    y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

    Para obter

    f t , y = 1 + t - y 2 ,   a = w 0 = y 0 = 1 ,   t 0 = a = 2 ,   b = 3

    Onde

    t i = t 0 + h ⋅ i

    = 2 + 0.5 ⋅ i

    = 2 + 0.5 i

    O método de Euler modificado de ordem dois é

    w 0 = α

    w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

    Agora

    w 0 = 0

    Logo

    w i + 1 = w i + 0.5 2 f 2 + 0.5 × i ,   w i + f 2 + 0.5 × i + 1 , w i + 0.5 × f 2 + 0.5 × i , w i

    w i = w 0 + 0.5 2 f 2 + 0.5 × 0 , w 0 + f 2 + 0.5 × 0 + 1 ,   w 0 + 0.5 × f 2 + 0.5 × 0 , w 0

    = 0 + 0.5 2 f 2,1 + f 2.5,0.5 × f 2,1

    = 1.8125

    w 2 = w i + 0.5 2 f 2 + 0.5 × 1 ,   w 1 + f 2 + 0.5 × 1 + 1 , w 1 + 0.5 × f 2 + 0.5 × 1 , w 1

    = 1 . 8125 + 0.5 2 f 2.5,1 + f 3 , 0.5 × f 2.5,1

    = 2.48155

    A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

    Passo 3

  5. Para o problema de valor inicial, temos
  6. y ’ = 1 + y t ,   1 ≤ t ≤   2   ,   y 1 = 2 ,   c o m   h = 0.25 .

    A solução exata dada é

      y t = t ln ⁡ t + 2 t

    Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

    y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

    Para obter

    f t , y = 1 + y / t ,   a = w 0 = y 0 = 2 ,   t 0 = a = 1 ,   b = 2

    Onde

    t i = t 0 + h ⋅ i

    = 1 + 0 . 2 5 ⋅ i

    = 1 + 0 . 2 5 i

    O método de Euler modificado de ordem dois é

    w 0 = α

    w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

    Agora

    w 0 = 0

    Logo

    w i + 1 = w i + 0 . 2 5 2 f 1 + 0 . 2 5 × i ,   w i + f 1 + 0 . 2 5 × i + 1 , w i + 0 . 2 5 × f 1 + 0 . 2 5 × i , w i

    w i = w 0 + 0 . 2 5 2 f 1 + 0 . 2 5 × 0 , w 0 + f 1 + 0 . 2 5 × 0 + 1 ,   w 0 + 0 . 2 5 × f 1 + 0 . 2 5 × 0 , w 0

    = 2 + 0 . 25 2 f 1,2 + f 1.25,2 + 0.25 × f 1,2

    = 2.775

    w 2 = w i + 0 . 2 5 2 f 1 + 0 . 2 5 × 1 ,   w 1 + f 1 + 0 . 2 5 × 1 + 1 , w 1 + 0 . 2 5 × f 1 + 0 . 2 5 × 1 , w 1

    = 2.775 + 0 . 2 5 2 f 1 . 25 , 2.775 + f 1.5,2.775 × f 1.25,2.775

    = 3.60083

    A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

    Passo 4

  7. Para o problema de valor inicial, temos

y ' = cos ⁡ 2 t + sin ⁡ 3 t ,     0 ≤ t ≤ 1 ,     y 0 = 1 ,   c o m   h = 0.25 ,    

A solução exata dada é

y t = 1 2 sin ⁡ 2 t - 1 3 cos ⁡ 3 t + 4 3

Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

Para obter

f t , y = cos ⁡ 2 t + s i n ⁡ ( 3 t ) ,   a = w 0 = y 0 = 1 ,   t 0 = a = 0 ,   b = 1

Onde

t i = t 0 + h ⋅ i

= 0 + 0 . 2 5 ⋅ i

= 0 . 2 5 i

O método de Euler modificado de ordem dois é

w 0 = α

w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

Agora

w 0 = 1

Logo

w i + 1 = w i + 0 . 2 5 2 f 0 . 2 5 × i ,   w i + f 0 . 2 5 × i + 1 , w i + 0 . 2 5 × f 0 . 2 5 × i , w i

w i = w 0 + 0 . 2 5 2 f 0 . 2 5 × 0 , w 0 + f 0 . 2 5 × 0 + 1 ,   w 0 + 0 . 2 5 × f 0 . 2 5 × 0 , w 0

= 1 + 0 . 0 5 2 f 0 , 1 + f 0.25,1 + 0.25 × f 0 , 1

= 1.3199

w 2 = w i + 0 . 2 5 2 f 2 + 0 . 2 5 × 1 ,   w 1 + f 0 . 2 5 × 1 + 1 , w 1 + 0 . 2 5 × f 0 . 2 5 × 1 , w 1

= 1.3199 + 0 . 2 5 2 f 0.25,1.3199 + f 0.5,3.199 + 0.25 × f 0.25,1.3199

= 1.70703

A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

Resposta

Vide a explicação.