Use o método de Euler modificado para aproximar as soluções para cada um dos seguintes valores iniciais problemas e comparar os resultados com os valores reais

y ' =   2   -   2 t y t 2   +   1   ,   0   ≤   t   ≤   1 ,   y 0 =   1 ,   c o m   h   =   0.1 ; s o l u ç ã o   a t u a l   y ( t )   = 2 t   +   1 t 1 + 1

y ' = y 2 1 + t   ,   1   ≤   t   ≤   2     y 1 = - ln ⁡ 2 - 1   ,   c o m   h   =   0.1 ;   s o l u ç ã o   a t u a l   y t =   - 1 ln ⁡ t + 1 .

y ' = y 2 + y t ,   1   ≤   t   ≤ 3 ,   y 1 =   - 2 ,   c o m   h   = 0.2 ;   s o l u ç ã o   a t u a l     y t = 2 t 1 - 2 t .

y ' =   - t y + 4 t / y ,   0   ≤   t   ≤   1 ,   y 0 = 1 ,   c o m   h   =   0.1 ;   s o l u ç ã o   a t u a l   y t = 4 - 3 e t 2

Passo 1

Falaiii meus xuxu’s, ceis tão bonzinho??

Espero que sim hein, bora lá pra mais uma?

Encostaaaa

a) Para o problema de valor inicial, temos

y ' =   2   -   2 t y t 2   +   1   ,   0   ≤   t   ≤   1 ,   y 0 =   1 ,   c o m   h   =   0.1 ;

A solução exata dada é

  y ( t )   = 2 t   +   1 t 1 + 1 .

Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

Para obter

f t , y = 2 - 2 t y t 2 + 1 ,   a = w 0 = y 0 = 1 ,   t 0 = a = 0 ,   b = 1

Onde

t i = t 0 + h ⋅ i

= 0 + 0.1 ⋅ i

= 0.1 i

O método de Euler modificado de ordem dois é

w 0 = α

w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

Agora

w 0 = 1

Logo

w i + 1 = w i + 0.1 2 f 0.1 i × i ,   w i + f 0.1 i × i + 1 , w i + 0.1 × f 0.1 i × i , w i

w i = w 0 + 0.1 2 f 0.1 i × 0 , w 0 + f 0.1 i × 0 + 1 ,   w 0 + 0.1 × f 0.1 i × 0 , w 0

= 1 + 0.1 2 f 0,1 + f 0.1,1 + 0.1 × f 0,1

= 1.18713

w 2 = w i + 0.1 2 f 0.1 × 1 ,   w 1 + f 0.1 i × 1 + 1 , w 1 + 0.1 × f 0.1 i × 1 , w 1

= 1.18713 + 0.1 2 f 0.1 ,   1.187713 + f 0.2,1.18713 + 0.1 × f 0.1,1.18713

= 1.34435

A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

Passo 2

b) Para o problema de valor inicial, temos

y ' = y 2 1 + t   ,   1   ≤   t   ≤   2     y 1 = - ln ⁡ 2 - 1   ,   c o m   h   =   0.1 ;  

A solução exata dada é

  y t =   - 1 ln ⁡ t + 1

Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

Para obter

f t , y = y 2 1 + t ,   a = w 0 = y 0 = - ln ⁡ 2 - 1 ,   t 0 = a = 1 ,   b = 2

Onde

t i = t 0 + h ⋅ i

= 1 + 0.1 ⋅ i

= 1 + 0.1 i

O método de Euler modificado de ordem dois é

w 0 = α

w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

Agora

w 0 = - ln ⁡ 2 - 1

Logo

w i + 1 = w i + 0.1 2 f 1 + 0.1 × i ,   w i + f 1 + 0.1 × i + 1 , w i + 0.1 × f 1 + 0.1 × i , w i

w i = w 0 + 0.1 2 f 1 + 0.1 × 0 , w 0 + f 1 + 0.1 × 0 + 1 ,   w 0 + 0.1 × f 1 + 0.1 × 0 , w 0

= - 1.348

w 2 = w i + 0.1 2 f 1 + 0.1 × 1 ,   w 1 + f 1 + 0.1 1 + 1 , w 1 + 0.1 × f 1 + 0.1 × 1 , w 1

= - 1.348 + 0.1 2 f 1.1 , - 1.348 + f 1.2 , - 1.348 + 0.1 × f 1.1 , - 1.348

= - 1.26857

A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

Passo 3

c) Para o problema de valor inicial, temos

y ' = y 2 + y t ,   1   ≤   t   ≤ 3 ,   y 1 =   - 2 ,   c o m   h   = 0.2 ;      

A solução exata dada é

y t = 2 t 1 - 2 t .

Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

Para obter

f t , y = y 2 + y t ,   a = w 0 = y 0 = - 2 ,   t 0 = a = 1 ,   b = 3

Onde

t i = t 0 + h ⋅ i

= 1 + 0.2 ⋅ i

= 1 + 0.2 i

O método de Euler modificado de ordem dois é

w 0 = - 2

w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

Agora

w 0 = 0

Logo

w i + 1 = w i + 0.2 2 f 1 + 0.2 × i ,   w i + f 1 + 0.2 × i + 1 , w i + 0.2 × f 1 + 0.2 × i , w i

w i = w 0 + 0.2 2 f 1 + 0.2 × 0 , w 0 + f 1 + 0.2 × 0 + 1 ,   w 0 + 0.2 × f 1 + 0.2 × 0 , w 0

= - 2 + 0.2 2 f 1 , - 2 + f 1.2 , - 2 + 0.2 × f 1 , - 2

= - 1.72

w 2 = w i + 0.2 2 f 1 + 0.2 × 1 ,   w 1 + f 1 + 0.2 × 1 + 1 , w 1 + 0.2 × f 1 + 0.2 × 1 , w 1

= - 1.72 + 0.2 2 f 1.2 , - 1.72 + f 1.4 , - 1.72 + 0.2 × f 1.2 , - 1.72

= - 1.56127

A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

Passo 4

d) Para o problema de valor inicial, temos

y ' =   - t y + 4 t / y ,   0   ≤   t   ≤   1 ,   y 0 = 1 ,   c o m   h   =   0.1 ;    

A solução exata dada é

  y t = 4 - 3 e t 2

Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

Para obter

f t , y = - t y + 4 t y ,   a = w 0 = y 0 = 1 ,   t 0 = a = 0 ,   b = 1

Onde

t i = t 0 + h ⋅ i

= 0 + 0.1 ⋅ i

= 0.1 i

O método de Euler modificado de ordem dois é

w 0 = α

w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

Agora

w 0 = 1

Logo

w i + 1 = w i + 0.1 2 f 0.1 × i ,   w i + f 0.1 × i + 1 , w i + 0.1 × f 0.1 × i , w i

w i = w 0 + 0.1 2 f 0.1 × 0 , w 0 + f 0.1 × 0 + 1 ,   w 0 + 0.1 × f 0.1 × 0 , w 0

= 1 + 0.1 2 f 0,1   + f 0.1,1 + 0.1   × f 0,1

= 1.015

w 2 = w i + 0.1 2 f 0.1 × 1 ,   w 1 + f 0.1 × 1 + 1 , w 1 + 0.1 × f 0.1 × 1 , w 1

= 1.015 + 0.1 2 f 0.1,1.015 + f 0.2,1.015 + 0.1 × f 0.1,1.015

= 1.05749

A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

Resposta

Vide a explicação.