Use o método de Euler modificado para aproximar as soluções para cada um dos seguintes valores iniciais problemas e comparar os resultados com os valores reais

y '   =   y / t   -   ( y / t )   2   ,   1   ≤   t   ≤   2 ,   y ( 1 )   =   1 ,   c o m   h   =   0.1 ; y ( t )   =   t / ( 1   +   l n   t ) .

y ' =   1 + y t + y t 2   ,   1   ≤   t   ≤   3 ,   y 1 =   0 ,   c o m   h   =   0.2 ;   s o l u ç ã o   a t u a l   y ( t )   =   t   t a n ( l n   t ) .

y ' =   - y   +   1 y   +   3 ,   0   ≤   t   ≤   2 ,   y 0 =   - 2 ,   c o m   h   = 0.2 ;   s o l u ç ã o   a t u a l     y ( t )   =   - 3   +   2 ( 1   +   e - 2 t   ) - 1 .

y ' =   - 5 y + 5 t 2 2   + 2 t ,   0   ≤   t   ≤   1 ,   y 0 = 1 3 ,   c o m   h   =   0.1 ;   s o l u ç ã o   a t u a l   y t =   t 2   + 1 3 e - 5 t

Passo 1

Boraaa galerinha, aniimaaa, vamos resolver mais um!!

Só bora então!!

a) Para o problema de valor inicial, temos

y '   =   y / t   -   ( y / t )   2   ,   1   ≤   t   ≤   2 ,   y ( 1 )   =   1 ,   c o m   h   =   0.1

A solução exata dada é

y ( t )   =   t / ( 1   +   l n   t ) .

Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

Para obter

f t , y = y t - y t 2 ,   a = w 0 = y 0 = 1 ,   t 0 = a = 1 ,   b = 2

Onde

t i = t 0 + h ⋅ i

= 1 + 0.1 ⋅ i

= 1 + 0.1 i

O método de Euler modificado de ordem dois é

w 0 = α

w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

Agora

w 0 = 1

Logo

w i + 1 = w i + 0.1 2 f 1 + 0.1 i × i ,   w i + f 1 + 0.1 i × i + 1 , w i + 0.5 × f 1 + 0.1 i × i , w i

w i = w 0 + 0.1 2 f 1 + 0.1 i × 0 , w 0 + f 1 + 0.1 i × 0 + 1 ,   w 0 + 0.5 × f 1 + 0.1 i × 0 , w 0

= 1 + 0.1 2 f 1,1 + f 1.1,1 + 0.1 × f 1,1

= 1.00413

w 2 = w i + 0.1 2 f 1 + 0.1 × 1 ,   w 1 + f 1 + 0.1 i × 1 + 1 , w 1 + 0.5 × f 1 + 0.1 i × 1 , w 1

= 1.00413 + 0.1 2 f 1.1 ,   1.00413 + f 1.2,1.0043 + 0.1 × f 1.1,1.00413

= 1.01417

A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

Passo 2

b) Para o problema de valor inicial, temos

y ' =   1 + y t + y t 2   ,   1   ≤   t   ≤   3 ,   y 1 =   0 ,   c o m   h   =   0.2 ; .

A solução exata dada é

  y ( t )   =   t   t a n ( l n   t )

Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

Para obter

f t , y = 1 + y t + y t 2 ,   a = w 0 = y 0 = 0 ,   t 0 = a = 1 ,   b = 3

Onde

t i = t 0 + h ⋅ i

= 1 + 0.2 ⋅ i

= 1 + 0.2 i

O método de Euler modificado de ordem dois é

w 0 = α

w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

Agora

w 0 = 2

Logo

w i + 1 = w i + 0.2 2 f 1 + 0.2 × i ,   w i + f 1 + 0.2 × i + 1 , w i + 0.5 × f 1 + 0.2 × i , w i

w i = w 0 + 0.2 2 f 1 + 0.2 × 0 , w 0 + f 1 + 0.2 × 0 + 1 ,   w 0 + 0.5 × f 1 + 0.2 × 0 , w 0

= 0 + 0.2 2 f 1,0 + f 1.1,0 + 0.1 × f 1,0

= 0.219444

w 2 = w i + 0.2 2 f 1 + 0.2 × 1 ,   w 1 + f 1 + 0.2 1 + 1 , w 1 + 0.5 × f 1 + 0.2 × 1 , w 1

= 0.219444 + 0.2 2 f 1.1,0.219444 + f 1.2,0.21944 + 0.2 × f 1,0.21944

= 0.485049

A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

Passo 3

c) Para o problema de valor inicial, temos

y ' =   - y   +   1 y   +   3 ,   0   ≤   t   ≤   2 ,   y 0 =   - 2 ,   c o m   h   = 0.2    

A solução exata dada é

y ( t )   =   - 3   +   2 ( 1   +   e - 2 t   ) - 1 .

Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

Para obter

f t , y = - ( y + 1 ) ( y + 3 ) ,   a = w 0 = y 0 = - 2 ,   t 0 = a = 0 ,   b = 2

Onde

t i = t 0 + h ⋅ i

= 0 + 0.2 ⋅ i

= 0.2 i

O método de Euler modificado de ordem dois é

w 0 = - 2

w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

Agora

w 0 = 0

Logo

w i + 1 = w i + 0.2 2 f 0.2 × i ,   w i + f 0.2 × i + 1 , w i + 0.2 × f 0.2 × i , w i

w i = w 0 + 0.2 2 f 0.2 × 0 , w 0 + f 0.2 × 0 + 1 ,   w 0 + 0.2 × f 0.2 × 0 , w 0

= - 2 + 0.2 2 f 0 , - 2 + f 0.2,1 + 0.2 × f 0 , - 2

= - 1.804

w 2 = w i + 0.2 2 f 0.2 × 1 ,   w 1 + f 0.2 × 1 + 1 , w 1 + 0.2 × f 0.2 × 1 , w 1

= - 1.804 + 0.2 2 f 0.2 , - 1.804 + f 0.4 , - 1.804 + 0.2 × f 0.2 , - 1.804

= - 1.62292

A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

Passo 4

d) Para o problema de valor inicial, temos

y ' =   - 5 y + 5 t 2 2   + 2 t ,   0   ≤   t   ≤   1 ,   y 0 = 1 3 ,   c o m   h   =   0.1 ;

A solução exata dada é

  y t =   t 2   + 1 3 e - 5 t

Comparando a equação diferencial dada com a forma geral do problema inicia

y ' = f t , y ,   a ≤ t ≤ b ,   y a = a

Para obter

f t , y = - 5 y + 5 t 2 + 2 t ,   a = w 0 = y 0 = 1 / 3 ,   t 0 = a = 0 ,   b = 1

Onde

t i = t 0 + h ⋅ i

= 0 + 0.1 ⋅ i

= 0.1 i

O método de Euler modificado de ordem dois é

w 0 = α

w i + 1 = w i + h 2 f t i ,   w i + f t i + 1 , w i + h × f t i , w i

Agora

w 0 = 1 / 3

Logo

w i + 1 = w i + 0.1 2 f 0.1 × i ,   w i + f 0.1 × i + 1 , w i + 0.1 × f 0.1 × i , w i

w i = w 0 + 0.1 2 f 0.1 × 0 , w 0 + f 0.1 × 0 + 1 ,   w 0 + 0.1 × f 0.1 × 0 , w 0

= 1 3 + 0.1 2 f 0 , 1 3   + f 0.1 , 1 3 + 0.1   × f 0 , 1 3

= 0.220833

w 2 = w i + 0.1 2 f 0.1 × 1 ,   w 1 + f 0.1 × 1 + 1 , w 1 + 0.1 × f 0.1 × 1 , w 1

= 0.220833 + 0.1 2 f 0.1,0.220833 + f 0.2,0.220833 + 0.1 × f 0.1,0.220833

= 0.220833

A tabela mostrada a seguir fornece a comparação entre a solução aproximada e a solução exata

Resposta

Vide a explicação.