Use o método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10^−5 para os seguintes problemas.

a. e x     +   2 - x   +   2   c o s   x   −   6   =   0   p a r a   1   ≤   x   ≤   2

b. l n ( x   −   1 )   +   c o s ( x   −   1 )   =   0   p a r a   1.3   ≤   x   ≤   2

c. 2 x   c o s   2 x   −   ( x   −   2 ) 2   =   0   p a r a   2   ≤   x   ≤   3   e   3   ≤   x   ≤   4

Passo 1

Falaa galerinhaa!!! Tudo certinhoo?? Bora juntos pra mais uma!

Nessa questão, precisamos relembrar o método de Newton, dado por:

p n = p n - 1 - f ( p n - 1 ) f ' ( p n - 1 )

Certo, nós vamos usar essa fórmula pra todos os itens dessa questão, ok?

Pra aplicarmos ela, vamos encontrar a derivada da função dada. Começando pela letra a, temos:

f ' ( x ) = ( e x     +   2 - x   +   2   c o s   x   −   6   ) '

f ' ( x ) = e x + 2 - x . l n ( 2 ) . ( - 1 ) + ( - 2 s e n x )

f ' ( x ) = e x - 2 - x ( l n ( 2 ) ) - 2   s e n   x

Passo 2

Após encontrarmos a derivada da função, vamos calcular o ponto de início dessa função, sendo que nos foi dado no enunciado que os limites são de [1,2]. Desta forma, temos que:

f ' ( x 0 ) = f ( 1 ) = e 1 - 2 - 1 ( l n ( 2 ) ) - 2   s e n   ( 1 ) ≃ 0,6887

Certo, assim entendemos que o método de Newton é aplicável para a letra a.

Precisamos realizar o mesmo com todos os casos, para então aplicarmos o restante, pelo wolfram. Assim, temos que, para a letra b:

f ' ( x ) = ( l n ( x   −   1 )   +   c o s ( x   −   1 )   ) '

Resolvendo essa derivada, temos:

f ' ( x ) = [ 1 / ( x - 1 ) ] - s e n   ( x - 1 )

Aqui vamos substituir x por 1,3:

f ' ( 1,3 ) = [ 1 / ( 1,3 - 1 ) ] - s e n   ( 1,3 - 1 )

f ' ( 1,3 ) = 3,0378

Passo 3

Para a letra c, temos que:

f ' ( x ) = ( 2 x   c o s   2 x   −   ( x   −   2 ) 2     ) '

Resolvendo essa derivada, temos:

f ' ( x ) = - 2 x + 2 ( - 2 x s i n ( 2 x ) + c o s   ( 2 x ) ) + 4

Aqui, substituímos x por 2:

f ' ( 2 ) = - 2 * 2 + 2 ( - 2 * 2 s i n ( 2 * 2 ) + c o s   ( 2 * 2 ) ) + 4

f ' ( 2 ) = 4,74713

Passo 4

Certo, agora podemos realizar a tabelinha, tendo que:

Assim, nós temos que:

Para a letra a, temos 1.82938.

Para a letra b, temos 1.39775.

Para a letra c, temos no caso de 2 ≤ x ≤ 3, o valor de 2.37069.

Para a letra c, temos no caso de 3 ≤ x ≤ 4, o valor de 3.72211.

Prontinho, galera!! Bora juntos pra próxima

Resposta

a. 1.82938.

b. 1.39775.

c. Para 2 ≤ x ≤ 3, o valor de 2.37069. Para 3 ≤ x ≤ 4, o valor de 3.72211.