Use um polinômio de Taylor em π/4 para aproximar cos 42° com uma precisão de 10^-6.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O objetivo é aproximar-se c o s ⁡ 42 0 de uma precisão de 10 - 6 cerca de π 4 usando o polinômio taylor.

Passo 2

Assumindo que f ( x ) = c o s ⁡ x e x 0 = π 4

Já que c o s ⁡ x é contínuo, então f ∈ C ∞ ( R ) .

Assim, o Teorema de Taylor pode ser aplicado para qualquer n ≥ 0 .

Passo 3

Suponha que f ∈ C n [ a , b ] , f ( n + 1 ) isso exista ligado [ a , b ] e x 0 ∈ [ a , b ] .

Para cada x ∈ [ a , b ] , existe um número ξ ( x ) entre x 0 e x com f ( x ) = P n ( x ) + R n ( x ) , Onde

P n x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + … + f n x 0 n ! x - x 0 n R n x

= f ( n + 1 ) ( ξ ( x ) ) ( n + 1 ) ! x - x 0 n + 1

Aqui, P n ( x ) é chamado o n th  grau Taylor Polinomial para f cerca x 0 , e R n ( x ) é chamado de termo Restante (ou Erro de Truncação) associado a P n ( x ) .

Passo 4

As derivadas de f ( x ) at x = π 4 são o seguinte:

f ( x ) = c o s ⁡ x   f π 4 = 1 2 f ' ( x ) = - s i n ⁡ x   f ' π 4 = - 1 2 f ' ' ( x ) = - c o s ⁡ x   f ' ' π 4 = - 1 2 f ' ' ' ( x ) = s i n ⁡ x   f ' ' π 4 = 1 2 f ( 4 ) ( x ) = c o s ⁡ x   f ( 4 ) π 4 = 1 2 f ( 5 ) ( x ) = - s i n ⁡ x   f ( 5 ) π 4 = - 1 2

Passo 5

As derivadas de f ( x ) at x = π 4 são o seguinte:

aproximar c o s ⁡ 42 0 , use o terceiro polinômio taylor é o seguinte:

Para n = 3 e x 0 = π 4 ,

P 3 ( x ) = f π 4 + f ' π 4 x - π 4 + f ' ' π 4 2 ! x - π 4 2 + f ' ' ' π 4 3 ! x - π 4 3

P 3 ( x ) = 1 2 + - 1 2 x - π 4 + - 1 2 2 ! x - π 4 2 + 1 2 3 ! x - π 4 3

= 1 2 1 - x - π 4 - 1 2 x - π 4 2 + 1 6 x - π 4 3

Passo 6

Peguem, x = 42 ∘ = 7 π 30 radianos.

P 3 42 ∘ = P 3 7 π 30   = 1 2 1 - 7 π 30 - π 4 - 1 2 7 π 30 - π 4 2 + 1 6 7 π 30 - π 4 3   = 1 2 1 - ( - 0.052359878 ) - 1 2 ( 0.002741557 ) + 1 6 ( - 0.000143548 )   = 1 2 ( 1.050965175 )   = 0.743144602

Passo 7

O valor exato de c o s ⁡ 42 ∘ é,

c o s ⁡ 42 ∘   = c o s ⁡ 7 π 30   = 0.743144825

Portanto

 Erro  = c o s ⁡ 42 ∘ - P 3 42 ∘   = | 0.743144825 - 0.743144602 |   = 0.000000223   ≈ 0.0000002

Assim, o erro real é, 2 × 10 - 7 .

Resposta

Resposta nos passos.