Use as respostas obtidas no Exercício 3 como aproximações iniciais do método de Newton. Iterar até x k - x k - 1 ∞ < 10 - 6 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos lá, para a letra a da 3° questão, temos as seguintes equações

4 x 1 2 - 20 x 1 + 1 4 x 2 2 + 8 = 0

1 2 x 1 x 2 2 + 2 x 1 - 5 x 2 + 8 = 0

Partindo para a matriz Jacobiana, temos que

J = ∂ f 1 ∂ x 1 ∂ f 1 ∂ x 2 ∂ f 2 ∂ 1 ∂ f 2 ∂ 2

Que passando dos literais para as duas equações é igual a

J = 8,0 x 1 - 20,0 0,5 x 2 0,5 x 2 2 + 2,0 x 1 x 2 - 5,0

Vamos agora para a primeira iteração, da solução do problema n° 3, nós temos que

x = 0.5   ,   2

Então, os valores serão iguais a

F 0 = 0 0

Podemos ver que a solução assumida satisfaz as equações com a precisão desejada de 10 - 6 , logo

x = 0.5 2

Passo 2

Vamos iterar novamente, dessa vez com o seguinte vetor de palpites

x = 1.1 ,   6.1

Então, os valores da função

F 0 = 0.1425 0.1655

Logo, a matriz jacobiana será igual a

J 0 = - 11.2 3.05 20.605 1.71

Resolvendo o sistema linear de equações

y 0 =   - J 0 - 1 F 0

Substituindo os valores, nós temos que

y 0 = - - 11.2 3.05 20.605 1.71 - 1 0.1425 0.1655 = - - 0.0031843 - 0.058414

Então, após a primeira iteração, os valores são

x 1 = x 0 + y 0

Logo, fazendo a substituição dos valores, nós temos que

x 1 = 1.1 6.1 + - 0.0031843 - 0.058414 = 1.0968 6.0416

Vamos para a segunda iteração

x 1 =   1.0968 6.0416

Logo, os valores de função serão iguais a

F 1 = 0.00089362 0.0030059

E a matriz Jacobiana

J 1 = - 11.225 3.0268 20.25 1.6265

Passo 3

Resolvendo o sistema de equações, nós obtemos que

y 1 = - J 1 - 1 F 1

Substituindo os valores, nós temos que

y 1 =   - - 11.225 3.0268 20.25 1.6265 - 1 0.00089362 0.0030059

Com isso, nós temos que

y 1 = - 9,6019 × 10 - 5 - 6.5263 × 10 - 4

Então, depois da segunda iteração. os valores são do tipo

x 2 = x 1 + y 1

Logo

x 2 =   1.0968 6.0416 +   - 9,6019 × 10 - 5 - 6.5263 × 10 - 4 = 1.0967 6.0409  

Encontrando o módulo do erro, nós temos que

E 2 = max ⁡ x 2 - x 1 = - 9,6019 × 10 - 5 - 6.5263 × 10 - 4 = 6.5263 × 10 - 4

Como o erro é maior que o erro descrito, continuamos a iteração.

Passo 4

E vamos para nossa 3° iteração, da solução da iteração nós temos que

x 2 = 1.0967 6.0409    

Então, os valores das autofunções são

F 2 = 1.4336 × 10 - 7 6.1216 × 10 - 7  

E a matriz jacobiana

J 2 = - 11.226 3.0205 20.246 1.6252

Resolvendo o sistema linear de equações, nós temos que

y 2 =   - J 2 - 1 F 2

Substituindo os valores, nós temos que

y 2 =   - - 11.226 3.0205 20.246 1.6252 1.4336 × 10 - 7 6.1216 × 10 - 7 = - 2.0353 × 10 - 8 - 1.2311 × 10 - 7

Logo, temos que

x 3 = x 2 + y 2

Substituindo, nós obtemos o seguinte resultado

x 3 =   1.0967 6.0409 + - 2.0353 × 10 - 8 - 1.2311 × 10 - 7

Então

x 3 = 1.0967 6.0409  

Encontrando o erro, nós temos que

E 3 = max ⁡ x 3 - x 2

Logo

E 3 = max ⁡ - 2.0353 × 10 - 8 - . 12311 × 10 - 7  

Como o erro é menor que o erro descrito, paramos a iteração. Podemos ver que a solução assumida satisfaz as equações com a precisão desejada de 10 - 6 .

Resposta

Resposta nos passos