Use os seguintes dados e saiba que as cinco primeiras derivadas de f são limitadas em [1, 5] por 2, 3, 6, 12 e 23, respectivamente, para aproximar f (3) com a maior precisão possível. Encontre um limite para o erro.

Passo 1

E ai seres de luz, tudo bem?

Bora resolver mais uma?

Encostaaa!!

Vamos considerar os seguintes dados

Passo 2

Para aproximar usando f ' x     x = 3 , a fórmula do ponto médio de cinco pontos

f ' x 0 = 1 12 h f x 0 - 2 h - 8 f x 0 - h + 8 f x 0 + h - f x 0 + 2 h

Tomando x 0 = 3     e   h = 1

Logo,

f ' 3 = 1 12 1 f 3 - 2 1 - 8 f 3 - 1 + 8 f 3 + 1 - f 3 + 2 1

= 1 12 f 1 - 8 f 2 + 8 f 4 - f 5

= 1 12 2.4142 - 8 2.6734 + 8 3.0976 - 3.2804

= 1 12 2.5273

≈ 0.210608

Passo 3

O erro na fórmula do ponto Médio de cinco pontos dados por

h 4 30 f 5 ( ξ )

Também é dado que a 5ª derivada de f ou seja f 5 ( x ) é limitada por 23 em [1,5].

Portanto, o erro limitado na aproximação f ' 3   é   1 ≤ x ≤ 5

max ⁡ f 5 x 30 ≤ 23 30 = 0.76

Resposta

Portanto, o erro limitado na aproximação f ' 3   é   1 ≤ x ≤ 5

max ⁡ f 5 x 30 ≤ 23 30 = 0.76