Use o Teorema do Círculo de Geršgorin para determinar limites para os autovalores e o raio espectral das seguintes matrizes.

A. A = 1 0 0 - 1 0 1 - 1 - 1 2 B. A = 4 - 1 0 - 1 4 - 1 - 1 - 1 4

C. A = 3 2 1 2 3 0 1 0 3 D. A = 4,75 2,25 - 0,25 2,25 4,75 1 , 25 - 0 , 25 1,25 4,75

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O teorema do círculo de Gersgorin nos diz que a A   é uma matriz n × n e R i é definido por

R i = z ∈ Z : z - a i i ≤ ∑ j = 1 ,   j ≠ i n a i j ,     i = 1 ,   … ,   n

Os autovalores de A estão contidos na união de círculos R =   ⋃ n = 1 n R i . Além disso, a união de qualquer k dos círculos que não intersectam o restante (n-k) contém precisamente k (contagem de multiplicidades) dos valores próprios. Para o raio espectral, escolhemos o valor máximo possível de λ nos círculos Gersgorianos.

A – Dada a matriz

A =   1 0 0 - 1 0 1 - 1 - 1 2  

Os círculos Gersgorianos são dados pelos quais calculamos para cada linha na matriz dada. Pelo teorema do círculo de Gersgorian, os autovalores estão contidos nos círculos de Gersgorian. Para i = 1 ,   a 11 = 1   e   ∑ j ≠ i 3 a 1 j = 0 . Isto nos fornece

R 1 = { z ∈ C : z - 1 ≤ 0 }

Para i = 2 ,   a 22 = 0   e   ∑ j ≠ i 3 a 2 j = 2 . Isso nos dá

R 2 = z ∈ C : z - 0 ≤ 2

Para i = 3 ,   a 33 = 2   e   ∑ j ≠ i 3 a 3 j = 2 . Logo

R 3 = z ∈ C : z - 2 ≤ 2

Portanto, os autovalores estão contidos em

{ λ : λ ≤ 2 } } ∪ { λ : λ - 2 ≤ 2 } }   e   λ - 2 ≤ 2 → λ < 4    

Portanto, o raio espectral é igual a

ρ λ ≤ 4

Passo 2

B – Dada a seguinte matriz

A = 4 - 1 0 - 1 4 - 1 - 1 - 1 4

Para i = 1 , a 11 = 4   e   ∑ j ≠ i 3 a 1 j = 1 . Isto nos fornece o seguinte resultado

R 1 = z ∈ C : z - 4 ≤ 1

Para i = 2 , a 22 = 4   e   ∑ j ≠ i 3 a 2 j = 2 . Que é igual a

R 2 = z ∈ C : z - 4 ≤ 2

Para i = 3 ,   a 33 = 4   e   ∑ j ≠ i 3 a 3 j = 2 . Logo

R 3 = z ∈ C : z - 4 ≤ 2

Então, os autovalores serão respectivamente

{ λ : λ - 4 ≤ 1 } } ∪ { λ : λ - 4 ≤ 2 } } = { λ : λ - 4 ≤ 2   }   e   λ - 4 ≤ 2 → λ ≤ 6 }

Portanto, o raio espectral é igual a

ρ λ ≤ 6

Passo 3

C – A matriz é igual a

A = 3 2 1 2 3 0 1 0 3

Para i = 1 , a 11 = 3   e   ∑ j ≠ i 3 a 1 j = 3 . Isto nos fornece o seguinte resultado

R 1 = z ∈ C : z - 3 ≤ 3

Para i = 2 , a 22 = 3   e   ∑ j ≠ i 3 a 2 j = 2 . Que é igual a

R 2 = z ∈ C : z - 3 ≤ 2

Para i = 3 ,   a 33 = 3   e   ∑ j ≠ i 3 a 3 j = 1 . Logo

R 3 = z ∈ C : z - 3 ≤ 1

Portanto, os autovalores estão em

λ : λ - 3 ≤ 3 e   λ - 3 ≤ 3 → λ ≤ 6

E o raio espectral

ρ λ ≤ 6

Passo 4

D – Dada a seguinte matriz

.   A = 4,75 2,25 - 0,25 2,25 4,75 1,25 - 0,25 1,25 4,75

Para i = 1 , a 11 = 4 , 75   e   ∑ j ≠ i 3 a 1 j = 2,50 . Isto nos fornece o seguinte resultado

R 1 = z ∈ C : z - 4,75 ≤ 2,50

Para i = 2 , a 22 = 4,75   e   ∑ j ≠ i 3 a 2 j = 3,50 . Que é igual a

R 2 = z ∈ C : z - 4,75 ≤ 3,50

Para i = 3 ,   a 33 = 4,75   e   ∑ j ≠ i 3 a 3 j = 1 , 50 . Logo

R 3 = z ∈ C : z - 4,75 ≤ 1 , 50

Portanto, os autovalores são iguais

λ : λ - 4,75 ≤ 2,50 e   λ - 4,75 ≤ 3,50 → λ ≤ 4,75 + 3,50 = 8,25

Portanto, o raio espectral é

ρ λ ≤ 8,25

Resposta

a )   A u t o v a l o r e s :   { λ : λ ≤ 2 } } ∪ { λ : λ - 2 ≤ 2 } }   e   o   r a i o   e s p e c t r a l   ρ ( λ ) ≤ 4

b )   λ : λ - 4 ≤ 2     e   r a i o   e s p e c t r a l   ρ λ ≤ 6

c )   λ : λ - 3 ≤ 3   e   r a i o   e s p e c t r a l   ρ λ ≤ 6

d )   A u t o v a l o r e s   λ : λ - 4,75 ≤ 2,50 e   λ - 4,75 ≤ 3,50 }   e   o   r a i o   e s p e c t r a l   ρ ( λ ) ≤ 8,25