Use o Teorema do Círculo de Geršgorin para determinar limites para os autovalores e o raio espectral das seguintes matrizes.
A. B.
C. D.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
O teorema do círculo de Gersgorin nos diz que a é uma matriz e é definido por
Os autovalores de A estão contidos na união de círculos . Além disso, a união de qualquer k dos círculos que não intersectam o restante (n-k) contém precisamente k (contagem de multiplicidades) dos valores próprios. Para o raio espectral, escolhemos o valor máximo possível de nos círculos Gersgorianos.
A – Dada a matriz
Os círculos Gersgorianos são dados pelos quais calculamos para cada linha na matriz dada. Pelo teorema do círculo de Gersgorian, os autovalores estão contidos nos círculos de Gersgorian. Para . Isto nos fornece
Para . Isso nos dá
Para . Logo
Portanto, os autovalores estão contidos em
Portanto, o raio espectral é igual a
Passo 2
B – Dada a seguinte matriz
Para . Isto nos fornece o seguinte resultado
Para . Que é igual a
Para . Logo
Então, os autovalores serão respectivamente
Portanto, o raio espectral é igual a
Passo 3
C – A matriz é igual a
Para . Isto nos fornece o seguinte resultado
Para . Que é igual a
Para . Logo
Portanto, os autovalores estão em
E o raio espectral
Passo 4
D – Dada a seguinte matriz
Para . Isto nos fornece o seguinte resultado
Para . Que é igual a
Para . Logo
Portanto, os autovalores são iguais
Portanto, o raio espectral é