Use o Teorema do Círculo de Geršgorin para determinar limites para os autovalores e o raio espectral das seguintes matrizes

A. - 4 0 0 - 4 1 3 2 1 1 2 3 1 - 2 0 0 - 4 B. 1 0 2 2 - 1 1 - 1 1 0 1 1 0 3 - 2 1 4

C. 1 1 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 3 3 3 2 D. - 4 0 0 - 4 1 3 2 1 1 2 3 1 - 2 0 0 - 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O teorema do círculo de Gersgorin nos diz que a A   é uma matriz n × n e R i é definido por

R i = z ∈ Z : z - a i i ≤ ∑ j = 1 ,   j ≠ i n a i j ,     i = 1 ,   … ,   n

Os autovalores de A estão contidos na união de círculos R =   ⋃ n = 1 n R i . Além disso, a união de qualquer k dos círculos que não intersectam o restante (n-k) contém precisamente k (contagem de multiplicidades) dos valores próprios. Para o raio espectral, escolhemos o valor máximo possível de λ nos círculos Gersgorianos.

A – Dada a matriz

- 4 0 0 - 4 1 3 2 1 1 2 3 1 - 2 0 0 - 4

Os círculos Gersgorianos são dados pelos quais calculamos para cada linha na matriz dada. Pelo teorema do círculo de Gersgorian, os autovalores estão contidos nos círculos de Gersgorian.

P a r a   i = 1 ,   a 11 = - 4   e   ∑ j ≠ i 4 a 1 j = 4 .  

Isto nos fornece

R 1 = { z ∈ C : z + 4 ≤ 4 }

Para i = 2 ,   a 22 = - 4   e   ∑ j ≠ i 4 a 2 j = 3 . Isso nos dá

R 2 = z ∈ C : z + 4 ≤ 3

Para i = 3 ,   a 33 = - 2   e   ∑ j ≠ i 4 a 3 j = 2 . Logo

R 3 = z ∈ C : z + 2 ≤ 3

Para i = 4 ,   a 44 = - 2   e   ∑ j ≠ i 4 a 4 j = 4 . Isto nos fornece

R 4 = z ∈ C : z + 4 ≤ 4

Portanto, os autovalores estão contidos em

λ + 4 ≤ 4 → λ ≤ 8

O raio espectral é igual a

ρ λ ≤ 8

Passo 2

B - Dada a matriz

1 0 2 2 - 1 1 - 1 1 0 1 1 0 3 2 1 4

Os círculos Gersgorianos são dados pelos quais calculamos para cada linha na matriz dada. Pelo teorema do círculo de Gersgorian, os autovalores estão contidos nos círculos de Gersgorian.

P a r a   i = 1 ,   a 11 = 1   e   ∑ j ≠ i 4 a 1 j = 2 .  

Isto nos fornece

R 1 = { z ∈ C : z - 1 ≤ 2 }

Para i = 2 ,   a 22 = 2   e   ∑ j ≠ i 4 a 2 j = 4 . Isso nos dá

R 2 = z ∈ C : z - 2 ≤ 4

Para i = 3 ,   a 33 = 3   e   ∑ j ≠ i 4 a 3 j = 3 . Logo

R 3 = z ∈ C : z - 3 ≤ 3

Para i = 4 ,   a 44 = 4   e   ∑ j ≠ i 4 a 4 j = 2 . Isto nos fornece

R 4 = z ∈ C : z - 4 ≤ 2

Portanto, os autovalores estão contidos em

λ - 4 ≤ 2 → λ ≤ 6

O raio espectral é igual a

ρ λ ≤ 6

Passo 3

C - Dada a matriz

1 1 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 3 3 3 2

Os círculos Gersgorianos são dados pelos quais calculamos para cada linha na matriz dada. Pelo teorema do círculo de Gersgorian, os autovalores estão contidos nos círculos de Gersgorian.

P a r a   i = 1 ,   a 11 = 1   e   ∑ j ≠ i 4 a 1 j = 1 .  

Isto nos fornece

R 1 = { z ∈ C : z - 1 ≤ 1 }

Para i = 2 ,   a 22 = 2   e   ∑ j ≠ i 4 a 2 j = 2 . Isso nos dá

R 2 = z ∈ C : z - 2 ≤ 2

Para i = 3 ,   a 33 = 3   e   ∑ j ≠ i 4 a 3 j = 3 . Logo

R 3 = z ∈ C : z - 3 ≤ 3

Para i = 4 ,   a 44 = 2   e   ∑ j ≠ i 4 a 4 j = 4 . Isto nos fornece

R 4 = z ∈ C : z - 2 ≤ 4

Portanto, os autovalores estão contidos em

λ - 2 ≤ 4 → λ ≤ 6

O raio espectral é igual a

ρ λ ≤ 6

Passo 4

D - Dada a matriz

3 - 1 - 1 3 0 1 1 0 0 1 1 0 9 2 2 9

Os círculos Gersgorianos são dados pelos quais calculamos para cada linha na matriz dada. Pelo teorema do círculo de Gersgorian, os autovalores estão contidos nos círculos de Gersgorian.

P a r a   i = 1 ,   a 11 = 3   e   ∑ j ≠ i 4 a 1 j = 2 .  

Isto nos fornece

R 1 = { z ∈ C : z - 3 ≤ 2 }

Para i = 2 ,   a 22 = 3   e   ∑ j ≠ i 4 a 2 j = 2 . Isso nos dá

R 2 = z ∈ C : z - 3 ≤ 2

Para i = 3 ,   a 33 = 9   e   ∑ j ≠ i 4 a 3 j = 3 . Logo

R 3 = z ∈ C : z - 9 ≤ 3

Para i = 4 ,   a 44 = 9   e   ∑ j ≠ i 4 a 4 j = 3 . Isto nos fornece

R 4 = z ∈ C : z - 9 ≤ 4

Portanto, os autovalores estão contidos em

λ - 9 ≤ 3 → λ ≤ 12

O raio espectral é igual a

ρ λ ≤ 12

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)