Use o Teorema do Valor Intermediário 1.11 e o Teorema de Rolle 1.7 para mostrar que o gráfico de cruza o eixo exatamente uma vez, independentemente do valor da constante .
Passo 1
Fala, pessoal! Prontos para mais um exercício?
Vamos primeiro relembrar esses teoremas.
O Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um valor no intervalo tal que se e possuírem sinais opostos
Já o Teorema de Rolle afirma que existe um valor no intervalo tal que se a função satisfaz as seguintes condições:
é contínua no intervalo
é derivável no intervalo
Passo 2
Vamos começar pelo TVI. Primeiramente, note que, para , , pois o termo cúbico da função faz com que ela decresca muito mais rápido. De forma análoga, para , . Observe que:
Se , então .
Se , então .
Ou seja, a função afim cruza o eixo em . Logo, para todo real negativo e menor que , . Por outro lado, para todo real positivo e maior que , . Logo, pelo TVI, podemos afirmar que cruza o eixo x pelo menos uma vez.
Passo 3
Agora, para mostrarmos que cruza o eixo apenas uma vez, devemos usar o Teorema de Rolle. Teremos como referência as condições 1, 2 e 3 supracitadas.
A função é contínua pois está bem definida para qualquer x real, sem apresentar saltos. A derivada da é , que também está definida para qualquer x real, sem saltos. Contudo, não existe intervalo tal que , pois , para todo x real. Ou seja, a função é sempre crescente e portanto não pode passar por um mesmo ponto mais de uma vez.
Resposta
No desenvolvimento.