Use o Teorema do Valor Intermediário 1.11 e o Teorema de Rolle 1.7 para mostrar que o gráfico de f ( x )   = x 3   + 2 x   + k   cruza o eixo x exatamente uma vez, independentemente do valor da constante k   .

Passo 1

Fala, pessoal! Prontos para mais um exercício?

Vamos primeiro relembrar esses teoremas.

O Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um valor c no intervalo [ a , b ] tal que f ( c ) = 0 se f ( a ) e f ( b ) possuírem sinais opostos

Já o Teorema de Rolle afirma que existe um valor c no intervalo [ a , b ] tal que f ' ( c ) = 0 se a função f satisfaz as seguintes condições:

1 .   f é contínua no intervalo [ a , b ]

2 .   f é derivável no intervalo ( a , b )

3 .   f ( a ) = f ( b )

Passo 2

Vamos começar pelo TVI. Primeiramente, note que, para x < 0 , f ( x ) < 2 x + k , pois o termo cúbico da função faz com que ela decresca muito mais rápido. De forma análoga, para x > 0 , f ( x ) > 2 x + k . Observe que:

Se 2 x + k < 0 , então x < - k 2 .

Se 2 x + k > 0 , então x > - k 2 .

Ou seja, a função afim 2 x + k cruza o eixo x em - k 2 . Logo, para todo x real negativo e menor que - k 2 , f < 0 . Por outro lado, para todo x real positivo e maior que - k 2 , f > 0 . Logo, pelo TVI, podemos afirmar que f cruza o eixo x pelo menos uma vez.

Passo 3

Agora, para mostrarmos que f cruza o eixo x apenas uma vez, devemos usar o Teorema de Rolle. Teremos como referência as condições 1, 2 e 3 supracitadas.

A função f é contínua pois está bem definida para qualquer x real, sem apresentar saltos. A derivada da f   é 3 x 2 + 2 , que também está definida para qualquer x real, sem saltos. Contudo, não existe intervalo [ a , b ] tal que f ( a )   =   f ( b ) , pois 3 x 2 + 2 > 0 , para todo x real. Ou seja, a função é sempre crescente e portanto não pode passar por um mesmo ponto mais de uma vez.

Resposta

No desenvolvimento.