Use o termo de erro de um polinômio de Taylor para estimar o erro envolvido na utilização de sen x ≈ x para aproximar sen 1°.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere a função,

f ( x ) = s e n ⁡ x  

As derivadas dos f ( x ) valores de função e função em 0 são mostrados abaixo.

f ( x ) = s e n ⁡ x f ( 0 ) = 0 f ' ( x ) = c o s ⁡ x f ' ( 0 ) = 1 f ' ' ( x ) = - s e n ⁡ x f ' ' ( 0 ) = 0 f ' ' ( x ) = - c o s ⁡ x f ' ' ( 0 ) = - 1

O segundo polinômio de Taylor f ( x ) = s e n ⁡ x é,

P 2 ( x )   = f ( 0 ) + f ' ( 0 ) ( x - 0 ) + f ' ' ( 0 ) 2 ! ( x - 0 ) 2   = 0 + 1 ( x ) + 0 ( x ) 2   = x

Passo 2

A aproximação s e n ⁡ x ≈ x é dada por,

f ( x ) ≈ P 2 ( x )

O termo restante é,

R 2 ( x )   = f ' ' ( ξ ( x ) ) 3 ! ( x - 0 ) 3   = - c o s ⁡ ( ξ ( x ) ) 6 x 3

Passo 3

Dado que, 180 ∘ = π radianos, portanto, 1 ∘ = π 180 radianos

Aproximando s e n ⁡ 1 ∘ , isto é s i n ⁡ π 180

Então f ( x ) - P 2 ( x ) = R 2 ( x )

f π 180 - P 2 π 180 = R 2 π 180

s i n ⁡ π 180 - π 180   = - 1 6 π 180 3   ≤ 1 6 π 180 3   = 8.86 × 10 - 7

Resposta

8.86 × 10 - 7