A. Verificar que a função , definida no por
É uma norma de .
B. Encontrar para os vetores dados no exercício 1.
C. Provar que para todo , .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Vamos relembrar as propriedades da norma de vetores, elas têm que ser válidas para todo .
São essas as propriedades, dada essa pequena introdução, vamos resolver as questões!
Passo 2
A – Nós precisamos apenas checar se são válidas para este caso, checando a propriedade 1, nós temos que
Como o termo está em módulo , logo, ele somente tem valores positivos, por este motivo a propriedade 1 é válida!
Partindo para a propriedade 2, nós temos que
Se o for igual a 0, logo toda a soma terá que ser zero também
Logo, propriedade 2 também é válida!
Para o caso da propriedade 3, nós temos que
Tirando o termo do somatório, nós temos que
Logo, a propriedade 3 é válida!
Por último, temos a seguinte propriedade
Separando os somatórios do segundo termo
Finalmente, mostramos que todas as propriedades são válidas.
Passo 3
B – Pegando as questões do exercício 1, nós temos que
Para a alternativa seguinte
Na próxima
E por último
Logo, temos que
Passo 4
C - Vamos utilizar a fórmula para o quadrado de uma soma de n números
Podemos melhorar essa desigualdade, da seguinte forma
Com isso, nós temos que
Substituindo no somatório...
Logo,
O que é sempre verdade para esta condição, então nós provamos o que nos foi pedido!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)