A. Verificar que a função ∙ 1 , definida no R n por

x 1 = ∑ i = 1 n x i

É uma norma de R n .

B. Encontrar x 1 para os vetores dados no exercício 1.

C. Provar que para todo x ∈ R , x 1 ≥ x 2 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos relembrar as propriedades da norma de vetores, elas têm que ser válidas para todo x , y ∈ R ,   α ∈ R .

1 :   x ≥ 0

2 :   x = 0   ↔ x = 0

3 .   α x = α x

4 .   x + y ≤ x + y

São essas as propriedades, dada essa pequena introdução, vamos resolver as questões!

Passo 2

A – Nós precisamos apenas checar se são válidas para este caso, checando a propriedade 1, nós temos que

x 1 = ∑ i = 1 n x i ≥ 0

Como o termo está em módulo x i ≥ 0 , logo, ele somente tem valores positivos, por este motivo a propriedade 1 é válida!

Partindo para a propriedade 2, nós temos que

S e   x 1 = ∑ i = 1 n x i = 0

Se o x for igual a 0, logo toda a soma terá que ser zero também

S e   x = 0 →   ∑ i = 1 n 0 = 0

Logo, propriedade 2 também é válida!

Para o caso da propriedade 3, nós temos que

α x 1 = ∑ i = 1 n α x i = ∑ i = 1 n α x i

Tirando o termo α do somatório, nós temos que

α x 1 = α ∑ i = 1 n x i = α x 1

Logo, a propriedade 3 é válida!

Por último, temos a seguinte propriedade

  x + y 1 = ∑ i = 1 n x i + y i ≤ ∑ i = 1 n ( x i + y i )

Separando os somatórios do segundo termo

∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n y i = x 1 + y 1

Finalmente, mostramos que todas as propriedades são válidas.

Passo 3

B – Pegando as questões do exercício 1, nós temos que

3 , - 4 ,   0 , 3 2   t 1 = 3 + - 4 + 0 + 3 2 = 8,5

Para a alternativa seguinte

2 , 1 ,   - 3 , 4   t 1 = 2 + 1 + - 3 + 4 = 10

Na próxima

sin ⁡ k , cos ⁡ k ,   2 k t ∞ = sin ⁡ k + cos ⁡ k + 2 k

E por último

4 k + 1   , 2 k 2 ,   k 2 e - k 1 = 4 k + 1   + 2 k 2 + k 2 e - k

Logo, temos que

4 k + 1   , 2 k 2 ,   k 2 e - k 1 = 4 k + 1   + 2 k 2 + k 2 e - k = 2 ( 2 k 2 + k + 1 ) k + 1 k 2 + k 2 e - k

Passo 4

C - Vamos utilizar a fórmula para o quadrado de uma soma de n números

a 1 + a 2 + … + a n 2 = ∑ i = 1 n a i 2 + 2 ∑ j = 1 n ∑ i = 1 j - 1 a i a j ,   x 1 ≥ x 2

Podemos melhorar essa desigualdade, da seguinte forma

x 1 + x 2 + … + x n 2 ≥ x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 1 2  

Com isso, nós temos que

x 1 + x 2 + … + x n 2 ≥ x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2

Substituindo no somatório...

x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 + 2 ∑ j = 1 n ∑ i = 1 j - 1 x i x j ≥ x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2

Logo,

2 ∑ j = 1 n ∑ i = 1 j - 1 x i x j ≥ 0

O que é sempre verdade para esta condição, então nós provamos o que nos foi pedido!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)