Regra da Cadeia de Funções Vetoriais

Teoria Completa

“Regra da Cadeia? Já aprendi isso!”

Já mesmo! Agora vamos só ver como a regra da cadeia se aplica a funções vetoriais. Mas o feeling é basicamente o mesmo.

Quando tínhamos uma função composta de uma variável, a gente fazia

f g x ' = f ' g x . g ' ( x )

Ou, na notação de Leibniz:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ g ∙ ∂ g ∂ x

Agora, no caso de funções vetoriais, na prática, vamos ter uma função f de várias variáveis (2 ou 3) e uma parametrização dessas variáveis x , y (e z , se for uma função de três variáveis) em função de um ou mais parâmetros.

f x , y = x y 2 + x + y

σ t = t 2 , t + 1

E queremos calcular a derivada de f com relação a um desses parâmetros, por exemplo t .

Ou seja, queremos calcular a matriz jacobiana da função composta f σ t .

Na notação de Leibniz:

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ σ ∙ ∂ σ ∂ t

Então, o que temos que fazer sempre é:

  1. Calcular o jacobiano da função f , que vai ser J f
  2. Calcular o jacobiano da parametrização, que vai ser J σ .
  3. Fazer o produto escalar

∂ f ∂ t = J f ⋅ J σ

No nosso exemplo, a derivada da composta f σ t em t = 1 fica:

  1. Calcular o Jacobiano da função f x , y = x y 2 + x + y
  2. J f = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y = y 2 + 1 2 x y + 1

    No ponto t = 1 temos que os valores de x e y correspondentes são:

    x t = σ 1 t = t 2 ⇒ x 1 = 1

    y t = σ 2 t = t + 1 ⇒ y 1 = 2

    Portanto x = 1 e y = 2 quando t = 1 .

    Assim, o Jacobiano de f em ( 1,2 ) será:

    J f 1,2 = 5 5

  3. Calcular a derivada da parametrização σ t = t 2 , t + 1
  4. J σ = ∂ σ 1 ∂ t ∂ σ 2 ∂ t = 2 t 1

    Em t = 1 , temos

    J σ ( 1 ) = 2 1

  5. Fazer o produto escalar entre as matrizes jacobianas:

J f o σ = J f ⋅ J σ

⇒ J f o σ = 5 5 ⋅ 2 1

⇒ J f o σ = 5 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1 = 15

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2013.2, questão 1.

Sejam p , v ∈ R n , f : R n → R uma função de classe C 1 e α : R → R n a curva parametrizada definida por α t = p + t . v

  1. Calcule a matriz jacobiana de f e de α
  2. Calcule a derivada de h ≔ f ∘ α no ponto t
  3. Repita os itens anteriores para n = 2 , p = 1,0 , v = - 1,0 e f x , y = x 2 - y 2 x
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Passo 1

a )

Ele quer essa conta no genérico mesmo. Vamos calcular o jacobiano de cada um e depois fazemos as substituições necessárias. Primeiro para f

Repara que f é uma função com n parâmetros, vamos chamá-los de x 1 , x 2 e por ai vai até x n . Além disso ele só tem 1 função componente que vai ser f 1 . Como fica seu jacobiano?

J f = ∂ f 1 ∂ x 1 ∂ f 1 ∂ x 2 … ∂ f 1 ∂ x n

Passo 2

Vamos agora ao jacobiano de g .

Repara que α é uma função com 1 parâmetros, vamos chamá-lo de t . Além disso ele tem n função componente vamos chamá-los de α 1 , α 2 e por ai vai até α n . Cada uma dessas funções depende de cada componente de p e v então vamos ter

α 1 = p 1 + v 1 t

α 2 = p 2 + v 2 t

α 3 = p 3 + v 3 t

α n = p n + v n t

Como fica seu jacobiano?

J α = ∂ α 1 ∂ t ∂ α 2 ∂ t … ∂ α n ∂ t = v 1 v 2 … v n

Lembrando que

Passo 3

O grande detalhe é escrever tudo em função de t , então devemos ter o jacobiano de f em função de t também.

Para fazermos isso devemos achar o valor de x 1 , x 2 e por ai vai até x n em função de t , vamos ter que aplicar α t

α t = p 1 + v 1 t p 2 + v 2 t … p n + v n t

Então

x 1 = α 1 t = p 1 + v 1 t

x 2 = α 2 t = p 2 + v 2 t

E por ai vai

Vamos representar isso tudo só como α t

O jacobiano vai ficar

J f = ∂ f 1 ∂ x 1 α t ∂ f 1 ∂ x 2 α t … ∂ f 1 ∂ x n α t

Passo 4

b )

O jacobiano da função composta vai ser

J f ∘ g t = ∂ f 1 ∂ x 1 α t ∂ f 1 ∂ x 2 α t … ∂ f 1 ∂ x n α t ∙ v 1 v 2 … v n

J f ∘ g t = ∂ f 1 ∂ x 1 α t v 1 + ∂ f 1 ∂ x 2 α t v 2 + … + ∂ f 1 ∂ x n α t v n

Passo 5

c )

Aqui vamos ter n = 2 isso faz com que o jacobiano fique

J f ∘ g t = ∂ f 1 ∂ x 1 α t v 1 + ∂ f 1 ∂ x 2 α t v 2

Ele disse que

p = 1,0 ,   v = - 1,0

Então

p 1 = 1 ,   p 2 = 0 ,   v 1 = - 1 ,   v 2 = 0

Podemos agora achar α t

α t = α 1 t α 2 t = p 1 + t v 1 p 2 + t v 2

α t = 1 - t 0

O jacobiano agora ficou

J f ∘ g t = ∂ f 1 ∂ x 1 1 - t 0 . - 1 + ∂ f 1 ∂ x 2 1 - t 0 . 0

Vamos ver agora a função f

f x , y = x 2 - y 2 x

Aqui vamos ter x 1 = x e x 2 = y , além disso f 1 = x 2 - y 2 x

Vamos ter

∂ f 1 ∂ x 1 = ∂ f 1 ∂ x = 2 x - y 2

∂ f 1 ∂ x 2 = ∂ f 1 ∂ y = - 2 x y

Sabemos os valores de x e y pela aplicação α t

x = 1 - t

y = 0

Então vamos ter

∂ f 1 ∂ x 1 - t 0 = 2 1 - t

∂ f 1 ∂ y 1 - t 0 = 0

O jacobiano vai ficar

J f ∘ g t = 2 1 - t . - 1 = 2 t - 2

Resposta

  1. J α = v 1 v 2 … v n
  2. J f = ∂ f 1 ∂ x 1 α t ∂ f 1 ∂ x 2 α t … ∂ f 1 ∂ x n α t

  3. J f ∘ g t = ∂ f 1 ∂ x 1 α t v 1 + ∂ f 1 ∂ x 2 α t v 2 + … + ∂ f 1 ∂ x n α t v n
  4. J f ∘ g t = 2 1 - t . - 1 = 2 t - 2

Exercício Resolvido #2

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 10, questão 15.

Seja

h x , y , z = g ( y 2 + x z , x y z )

Onde g é uma função real diferenciavel. Encontre ∇ h ( 1 , - 1 , - 4 ) sabendo que ∇ g - 3,2 = ( 1,3 ) e ∇ g 1,3 = ( - 3,2 ) .

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Passo 1

O que ele tá querendo é o gradiente da função h . Mas gradiente nada mais é do que o Jacobiano dessa função.

Beleza, como vamos calcular esse jacobiano?

Se você observar bem, h é uma função composta:

h = g u , v

u x , y , z = y 2 + x z

v x , y , z = x y z

= > σ x , y , z = y 2 + x z , x y z

Ou seja

h x , y , z = g σ x , y , z = g u x , y , z , v x , y , z

Beleza, agora como queremos enconrar o gradiente dessa função h , que é uma função composta, percebemos que temos um caso de regra da cadeia, né?

Então

∇ h x , y , z = J h x , y , z = J g ∙ J σ

Passo 2

Vamos então calcular o jacobiano de σ

σ x , y , z = y 2 + x z , x y z

σ 1 = y 2 + x z

σ 2 = x y z

J σ = ∂ σ 1 ∂ x ∂ σ 1 ∂ y ∂ σ 1 ∂ z ∂ σ 2 ∂ x ∂ σ 2 ∂ y ∂ σ 2 ∂ z = z 2 y x y z 2 x y z x z 2 x y z x y 2 x y z

Mas, como ele quer o gradiente de h quando x = 1 , y = - 1 e z = - 4 , vamos calcular esse jacobiano neste ponto:

J σ 1 , - 1 , - 4 = - 4 2 - 1 1 - 1 - 4 2 1 - 1 - 4 1 - 4 2 1 - 1 - 4 1 - 1 2 1 - 1 - 4

J σ 1 , - 1 , - 4 = - 4 - 2 1 1 - 1 - 1 4

Passo 3

Agora vamos calcular o jacobiano de g :

g u , v

J g = ∂ g 1 ∂ u ∂ g 1 ∂ v

Beleza, mas como queremos o gradiente de h no ponto ( 1 , - 1 , - 4 ) , temos que achar os valores de u e v correspondentes:

u x , y , z = y 2 + x z

u 1 , - 1 , - 4 ,   = - 1 2 + 1 - 4 = - 3

v x , y , z = x y z

v 1 , - 1 , - 4 = 1 - 1 - 4 = 2

Então temos que achar o jacobiano de g no ponto ( - 3,2 ) . Mas, a questão já disse pra gente esse valor:

J g ( - 3,2 ) = 1 3

Passo 4

Pronto, agora é só calcular o produto escalar:

∇ h 1 , - 1 , - 4 = J h 1 , - 1 , - 4 = J g ( - 3,2 ) ∙ J σ ( 1 , - 1 , - 4 )

∇ h 1 , - 1 , - 4 = 1 3 ∙ - 4 - 2 1 1 - 1 - 1 4 = [ - 4 + 3 - 2 - 3 1 - 3 4 ] = - 1 - 5 1 4

Resposta

∇ h 1 , - 1 , - 4 = - 1 - 5 1 4

Exercício Resolvido #3

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 10, questão 13.

Sejam F x , y , z = 3 x 2 + y z , z + y 3 e G x , y = x 2 + y 2 , x y , x 3 , x + y 3 .

  1. Verifique que uma das compostas F ∘ G ou G ∘ F não está definida.
  2. Determine F ' x , y , z e G ' x , y , z
  3. Determine F ∘ G ' 1 , - 1 ou G ∘ F ' 1 , - 1,2 , a que for possível
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Passo 1

a) Vamos lá, temos duas funções compostas, e apenas uma dela é definida. Se fosse múltipla escolha seria 50 % de chance de acertar :D Ok, mas não é, então partiu entender essa parada.

Acho que a maneira mais simples de entender isso é assim:

Podemos ver que a função F leva pontos do R 3 no R 2 , pois temos como entrada 3 coordenadas, x , y e z , e como saída um vetor de duas coordenadas. Já a função G , leva pontos do R 2 no R 4 , pois entra x e y , e resulta num vetor com quatro coordenadas. E além disso sabemos que uma função composta deve ser tal que o domínio da função mais externa seja igual ao da imagem da mais interna.

Nessa bagunça toda aí de cima, vemos que em termos de dimensão, aparece R 2 a imagem da função F e no domínio da função G . Assim, a única combinação válida é G ∘ F ,

G ∘ F = G F x , y , z

pois teremos R 2 sendo levado em R 2 (nesse caso, domínio e imagem de mesma dimensão).

Só pra entender melhor, vamos ver por que o outro caso não daria? Se quiséssemos usar pontos da imagem de G como argumentos da função F , teríamos pontos de 4 coordenadas (gerados por F ) numa função que precisa receber pontos de duas como argumento (argumentos da G têm duas dimensões), o que não daria certo!

Passo 2

b) Beleza, agora só temos que encontrar as derivadas parciais, e, pra isso, só encontrar a Jacobiana:

J = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 1 ∂ z ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y ∂ f 2 ∂ z

Para a função F x , y , z = 3 x 2 + y z , z + y 3 , F 1 = 3 x 2 + y z e F 2 = z + y 3 , ou seja, primeira e segunda coordenadas. Eu peguei essa matriz aí da teoria, que por acaso é para uma função que nem essa F , que leva R 3 → R 2 . Agora é achar as derivadas parciais de F 1 e F 2 em relação a cada uma das variáveis, x ,   y e z .

F 1 x = 6 x

F 1 y = z

F 1 z = y

Fazendo o mesmo para F 2 ,

F 2 x = 0

F 2 y = 3 y 2

F 2 z = 1

Passo 3

Show! Agora é só colocar os valores encontrados na Jacobiana!

F ' x , y = 6 x z y 0 3 y 2 1

Passo 4

Já sabe o que fazer agora, certo? Para de ver a resolução e tenta fazer o mesmo para a outra função! Lembre-se que o número de colunas da Jacobiana é o número de variáveis do domínio x , y , z , w , … , e o número de linhas é a dimensão para onde esse domínio está sendo levado!

Passo 5

Agora que você já vez sozinho(a) para treinar, vê se ficou assim:

G x , y = x 2 + y 2 , x y , x 3 , x + y 3

Vemos que a nossa jacobiana deve ter duas colunas e quatro linhas, e fica assim:

J = δ G 1 δ x δ G 1 δ y δ G 2 δ x δ G 2 δ y δ G 3 δ x δ G 3 δ y δ G 4 δ x δ G 4 δ y

Sendo G 1 = x 2 + y 2 ,   G 2 = x y ,   G 3 = x 3 ,   G 4 = x + y 3

Passo 6

Encontrando as derivadas de cada G n em relação a x e em relação a y , teremos:

G 1 x = 2 x

G 1 y = 2 y

G 2 x = y

G 2 y = x

G 3 x = 3 x 2

G 3 y = 0

G 4 x = 1

G 4 y = 3 y 2

Passo 7

E colocando na matriz,

G ' x , y = 2 x 2 y y x 3 x 2 0 1 3 y 2

Passo 8

c)Finalmente! Pra fechar com chave de ouro, vamos calcular o valor da função composta para a função que existe, obviamente. Como vimos do passo 1, a função que dá pra fazer é G ∘ F .

Para fazer a derivada dessa função composta, temos que simplesmente usar a regra da cadeia! Para ilustrar melhor essa parada de G ∘ F , vamos escrever:

G ∘ F = G F x , y , z

Ou seja, se formos usar a regra da cadeia, temos que fazer a derivada da função de fora no ponto definido pela de dentro, vezes a derivada da função de dentro. Fica assim:

G ∘ F ' = G ' F x , y , z . F ' x , y , z

Passo 9

Começando por encontrar F 1 , - 1,2 , que será o argumento de G ' ,

F x , y , z = 3 x 2 + y z , z + y 3

F 1 , - 1,2 = 3 . 1 2 - 1.2,2 + - 1 3

F 1 , - 1,2 = 1,1

E colocando o ponto 1,1 como argumento de G ' , teremos:

G ' x , y = 2.1 2.1 1 1 3 . 1 2 0 1 3 . 1 2 = 2 2 1 1 3 0 1 3

Passo 10

Agora vamos colocar o ponto 1 , - 1,2 como argumento de F ' ,

F ' x , y = 6.1 2 - 1 0 3 . - 1 2 1 = 6 2 - 1 0 3 1

E multiplicamos uma matriz pela outra,

G ' F x , y , z . F ' x , y , z = 2 2 1 1 3 0 1 3 . 6 2 - 1 0 3 1

= 2.6 + 2.0 2.2 + 2.3 2 . - 1 + 2.1 1.6 + 1.0 1.2 + 1.3 1 . - 1 + 1.1 3.6 + 3.0 3.2 + 0.3 3 . - 1 + 0.1 1.6 + 1.0 1.2 + 3.3 1 . - 1 + 3.1

12 10 0 6 5 0 18 6 - 3 6 11 2

Resposta

a) G ∘ F é a que está definida

b)   F ' x , y = 6 x z y 0 3 y 2 1 e G ' x , y = 2 x 2 y y x 3 x 2 0 1 3 y 2

c)   12 10 0 6 5 0 18 6 - 3 6 11 2

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2014.2, questão 4, item b.
  1. Sejam f , g : R 3 → R funções diferenciáveis tais que f x , y , g x , y = 0