Regra da Cadeia de Funções Vetoriais

Teoria Completa

“Regra da Cadeia? Já aprendi isso!”

Já mesmo! Agora vamos só ver como a regra da cadeia se aplica a funções vetoriais. Mas o feeling é basicamente o mesmo.

Quando tínhamos uma função composta de uma variável, a gente fazia

f g x ' = f ' g x . g ' ( x )

Ou, na notação de Leibniz:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ g ∙ ∂ g ∂ x

Agora, no caso de funções vetoriais, na prática, vamos ter uma função f de várias variáveis (2 ou 3) e uma parametrização dessas variáveis x , y (e z , se for uma função de três variáveis) em função de um ou mais parâmetros.

f x , y = x y 2 + x + y

σ t = t 2 , t + 1

E queremos calcular a derivada de f com relação a um desses parâmetros, por exemplo t .

Ou seja, queremos calcular a matriz jacobiana da função composta f σ t .

Na notação de Leibniz:

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ σ ∙ ∂ σ ∂ t

Então, o que temos que fazer sempre é:

  1. Calcular o jacobiano da função f , que vai ser J f
  2. Calcular o jacobiano da parametrização, que vai ser J σ .
  3. Fazer o produto escalar

∂ f ∂ t = J f ⋅ J σ

No nosso exemplo, a derivada da composta f σ t em t = 1 fica:

  1. Calcular o Jacobiano da função f x , y = x y 2 + x + y
  2. J f = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y = y 2 + 1 2 x y + 1

    No ponto t = 1 temos que os valores de x e y correspondentes são:

    x t = σ 1 t = t 2 ⇒ x 1 = 1

    y t = σ 2 t = t + 1 ⇒ y 1 = 2

    Portanto x = 1 e y = 2 quando t = 1 .

    Assim, o Jacobiano de f em ( 1,2 ) será:

    J f 1,2 = 5 5

  3. Calcular a derivada da parametrização σ t = t 2 , t + 1
  4. J σ = ∂ σ 1 ∂ t ∂ σ 2 ∂ t = 2 t 1

    Em t = 1 , temos

    J σ ( 1 ) = 2 1

  5. Fazer o produto escalar entre as matrizes jacobianas:

J f o σ = J f ⋅ J σ

⇒ J f o σ = 5 5 ⋅ 2 1

⇒ J f o σ = 5 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1 = 15

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Exercício Resolvido #1

PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2013.2, questão 1.

Sejam p , v ∈ R n , f : R n → R uma função de classe C 1 e α : R → R n a curva parametrizada definida por α t = p + t . v

  1. Calcule a matriz jacobiana de f e de α
  2. Calcule a derivada de h ≔ f ∘ α no ponto t
  3. Repita os itens anteriores para n = 2 , p = 1,0 , v = - 1,0 e f x , y = x 2 - y 2 x
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Ele quer essa conta no genérico mesmo. Vamos calcular o jacobiano de cada um e depois fazemos as substituições necessárias. Primeiro para f

Repara que f é uma função com n parâmetros, vamos chamá-los de x 1 , x 2 e por ai vai até x n . Além disso ele só tem 1 função componente que vai ser f 1 . Como fica seu jacobiano?

J f = ∂ f 1 ∂ x 1 ∂ f 1 ∂ x 2 … ∂ f 1 ∂ x n

Passo 2

Vamos agora ao jacobiano de g .

Repara que α é uma função com 1 parâmetros, vamos chamá-lo de t . Além disso ele tem n função componente vamos chamá-los de α 1 , α 2 e por ai vai até α n . Cada uma dessas funções depende de cada componente de p e v então vamos ter

α 1 = p 1 + v 1 t

α 2 = p 2 + v 2 t

α 3 = p 3 + v 3 t

α n = p n + v n t

Como fica seu jacobiano?

J α = ∂ α 1 ∂ t ∂ α 2 ∂ t … ∂ α n ∂ t = v 1 v 2 … v n

Lembrando que

Passo 3

O grande detalhe é escrever tudo em função de t , então devemos ter o jacobiano de f em função de t também.

Para fazermos isso devemos achar o valor de x 1 , x 2 e por ai vai até x n em função de t , vamos ter que aplicar α t

α t = p 1 + v 1 t p 2 + v 2 t … p n + v n t

Então

x 1 = α 1 t = p 1 + v 1 t

x 2 = α 2 t = p 2 + v 2 t

E por ai vai

Vamos representar isso tudo só como α t

O jacobiano vai ficar

J f = ∂ f 1 ∂ x 1 α t ∂ f 1 ∂ x 2 α t … ∂ f 1 ∂ x n α t

Passo 4

b )

O jacobiano da função composta vai ser

J f ∘ g t = ∂ f 1 ∂ x 1 α t ∂ f 1 ∂ x 2 α t … ∂ f 1 ∂ x n α t ∙ v 1 v 2 … v n

J f ∘ g t = ∂ f 1 ∂ x 1 α t v 1 + ∂ f 1 ∂ x 2 α t v 2 + … + ∂ f 1 ∂ x n α t v n

Passo 5

c )

Aqui vamos ter n = 2 isso faz com que o jacobiano fique

J f ∘ g t = ∂ f 1 ∂ x 1 α t v 1 + ∂ f 1 ∂ x 2 α t v 2

Ele disse que

p = 1,0 ,   v = - 1,0

Então

p 1 = 1 ,   p 2 = 0 ,   v 1 = - 1 ,   v 2 = 0

Podemos agora achar α t

α t = α 1 t α 2 t = p 1 + t v 1 p 2 + t v 2

α t = 1 - t 0

O jacobiano agora ficou

J f ∘ g t = ∂ f 1 ∂ x 1 1 - t 0 . - 1 + ∂ f 1 ∂ x 2 1 - t 0 . 0

Vamos ver agora a função f

f x , y = x 2 - y 2 x

Aqui vamos ter x 1 = x e x 2 = y , além disso f 1 = x 2 - y 2 x

Vamos ter

∂ f 1 ∂ x 1 = ∂ f 1 ∂ x = 2 x - y 2

∂ f 1 ∂ x 2 = ∂ f 1 ∂ y = - 2 x y

Sabemos os valores de x e y pela aplicação α t

x = 1 - t

y = 0

Então vamos ter

∂ f 1 ∂ x 1 - t 0 = 2 1 - t

∂ f 1 ∂ y 1 - t 0 = 0

O jacobiano vai ficar

J f ∘ g t = 2 1 - t . - 1 = 2 t - 2

Resposta

  1. J α = v 1 v 2 … v n
  2. J f = ∂ f 1 ∂ x 1 α t ∂ f 1 ∂ x 2 α t … ∂ f 1 ∂ x n α t

  3. J f ∘ g t = ∂ f 1 ∂ x 1 α t v 1 + ∂ f 1 ∂ x 2 α t v 2 + … + ∂ f 1 ∂ x n α t v n