Conjunto de Nível

Teoria Completa

Como calcular?

Imagine que tu chega na sua prova e se depara com uma questão pedindo pra encontrar o conjunto de nível K de uma função vetorial, que que você faz?

Chora? Claro que não, afinal, você estuda pelo Responde Aí

Então, você vai saber que para achar o conjunto de nível de uma função vetorial, basta igualar as funções componentes da função vetorial ao nível K pedido. Assim, se

F x , y , z = ( z + x - y , z )

O conjunto de nível ( - 1,0 ) dessa função é:

z + x - y = - 1 → z = - x + y - 1

z = 0

Que corresponde a interseção do plano z = - x + y - 1 com o plano z = 0 , que nada mais é que a reta y = x + 1 .

Sacou?

É só igualar as funções componentes ao nível pedido e fazer a interseção entre as equações dos planos/superfícies que surgirem.

Tranquilo, né? Então agora se essa questão aparecer na sua prova você vai é ficar feliz, porque é um ponto fácil.

Agora dá uma olhadinha nos exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFF, lista 12, Cálculo 2B, exercício 3, itens a e c.

Seja F : R 2 → R definida por

z = F x , y = y - x 4

  1. Faça um esboço das curvas de nível de F associadas aos níveis z = 0 , z = 1 e z = 16 .
  2. Mostre que P = 0,0 pertence a curva de nível

F 0 = x , y ∈ R 2 ; F x , y = 0

De F associada ao nível z = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Bom, pra fazer as curvas de nível dessa função, precisamos apenas igualar a função ao nível pedido. Assim, para o nível z = 0 , temos

z = y - x 4 = 0

y - x = 0 4 = 0

Logo, temos a reta

y = x

Passo 2

Agora vamos fazer para o nível z = 1

z = y - x 4 = 1

y - x = 1 4 = ± 1

Temos então, duas retas:

y = x + 1

y = x - 1

Passo 3

Para o ultimo nível, z = 16 :

z = y - x 4 = 16

y - x = 16 4 = 2

E, over and over again, temos duas retas:

y = x + 2

y = x - 2

Passo 4

b )

Para mostrar que o ponto P = ( 0,0 ) pertence a curva de nível 0 dessa função é só substituir esse ponto na função e vê se dá zero

z = F x , y = y - x 4

z = F 0,0 = 0 - 0 4 = 0

Ou seja, o ponto pertence a curva de nível zero da função.

Repare que apenas olhando para a expressão que encontramos para o nível z = 0 na letra a

y = x

Já vemos que o ponto ( 0,0 ) pertence a essa curva.

Resposta

y = x

y = x + 1

y = x - 1

y = x + 2

y = x - 2

Exercício Resolvido #2

UFF, Cálculo 2B, parte 1,, exemplo 1.2.11.

Determine o conjunto de nível zero da função

g   :   R 3 → R

x , y , z → g x , y , z = z - ( x 2 + y 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para saber o conjunto de nível dessa função, precisamos apenas igualar a função ao nível pedido. Assim, para o nível 0 , temos

z - x 2 + y 2 = 0

z = x 2 + y 2

Que é um paraboloide.

Resposta

z = x 2 + y ²

Exercício Resolvido #3

UFF, Cálculo 2B, parte 1,, exemplo 1.2.5.

Determine e esboce o conjunto de nível ( 1,0 ) da função

F x , y , z = ( x + y + z , z )

x , y , z ∈ R ³

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para saber o conjunto de nível dessa função, precisamos apenas igualar as funções componentes ao nível pedido. Assim, para o nível ( 1,0 ) , temos

x + y + z = 1

z = 0

Assim, o conjunto de nível é

F 1,0 = x , y , z ∈ R 3   x + y + z = 1   e   z = 0 }

Passo 2

Para esboçar esse conjunto de nível, observe que ele será a interseção do plano

x + y + z = 1

Com o plano

z = 0

Que nos dá uma reta no plano x y

x + y = 1

y = 1 - x

Resposta

Reta y = 1 - x

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