Teorema da Função Inversa

Teoria Completa

O Teorema da Função Inversa serve para determinar a derivada da inversa de uma função, sem ao menos saber quem é essa inversa.

Relaxa, com esse nome parece difícil, mas não é! E você vai ver que é igual ao que já aprendeu em cálculo de uma variável.

“Ahhh, e tu acha que eu lembro?”

Hahah, fique tranqs que eu vou fazer você lembrar tudinho!

Teorema da Função Inversa

Para o caso de uma variável, o teorema diz que se uma função de uma variável f é derivável e sua derivada num ponto x 0 , f ' ( x 0 ) , tem inversa, então, próximo de x 0 a função original também tem inversa f - 1 e essa inversa também é diferenciável. E mais: que a derivada da inversa é o inverso da derivada., assim:

f - 1 ' y 0 = 1 f ' x 0

onde y 0 = f x 0 .

Então, sendo f x = x 3 determine f - 1 ' 8 .

Temos que

f - 1 ' 8 = 1 f ' x 0

E

f ' x = 3 x 2

Mas precisamos também saber quem é x 0 , para isso basta fazer:

8 = f x 0

8 = x 0 3 x 0 = 8 3 x 0 = 2

Agora aplicando o teorema

f - 1 ' 8 = 1 3 × 2 2 = 1 12

Se você calcular a inversa de f (que é f - 1 x = x 3 ), derivar e aplicar o ponto 8 , vai encontrar exatamente o mesmo resultado.

Ufa, então esse teorema funciona mesmo!

Agora vamos generalizar para funções de várias variáveis. Nesse caso, o teorema é:

Se temos uma função vetorial F que possui derivada F ' e se a sua derivada no ponto X 0 , isto é, F ' ( X 0 ) , tem inversa. Então podemos garantir que ali pertinho de X 0 a função F também tem inversa e que essa inversa é diferenciável. E mais, que a derivada da inversa no ponto Y 0 = F ( X 0 ) é o inverso da derivada de F no ponto X 0 . Assim

F - 1 ' Y 0 = F ' X 0 - 1

Igualzinho ao que era pra uma variável só!!

Só fique atento que a derivada da inversa é calculada no ponto Y 0 , que é do domínio da inversa, e a derivada da função original é calculada no ponto X 0 , que é do domínio de F . Fique muito ligado nisso!

Eu sei que parece muito difícil, mas não é! Vem comigo nesse exemplo pra tu ver:

Considere a função F : R 2 R 2 definida por

F x , y = x 3 - 2 x y 2 , x + y

Determine F - 1 ' - 1,0 .

Esse é um caso típico de teorema da função inversa: a gente tem a função F e quer saber quem é a derivada da inversa F - 1 num ponto Y 0 = ( - 1,0 ) sem precisar calcular a inversa.

Então vamos lá. Primeiro temos que calcular a derivada F ' de F no ponto X 0 . Ou seja, vamos ter que calcular a matriz Jacobiana:

J = f 1 x f 1 y f 2 x f 2 y =   3 x 2 - 2 y 2 - 4 x y 1 1

Ok, mas quem é X 0 e Y 0 ?

Y 0 a questão já deu pra gente:

Y 0 = - 1,0

Repara que coloquei em maiúsculo para lembrar que isso é um ponto e não um valor da coordenada do ponto.

Pra encontrar X 0 bastar fazer

x 3 - 2 x y 2 , x + y = - 1,0

E resolver o sistema

x 3 - 2 x y 2 = - 1 x + y = 0                          

Isolando y na segunda equação e substituindo na primeira, achamos que

x = 1

y = - 1

E, assim, X 0 = 1 , - 1

Agora já estamos prontos para aplicar o teorema! Então

F - 1 ' Y 0 = F ' X 0 - 1

F - 1 ' - 1,0 = F ' 1 , - 1 - 1

F - 1 ' - 1,0 = 3 × 1 2 - 2 - 1 2 - 4 × 1 × - 1 1 1 - 1

F - 1 ' - 1,0 = 1 4 1 1 - 1

Opa o que é aquilo alí? Uma matriz! E mais ainda: com expoente menos um. Ou seja, temos que invertê-la. Fazendo aqueles cálculos que você aprendeu lá em Álgebra Linear...

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

1 4 1 1 - 1 = 1 1 - 4 1 - 4 - 1 1 = - 1 / 3 4 / 3 1 / 3 - 1 / 3

F - 1 ' - 1,0 = - 1 / 3 4 / 3 1 / 3 - 1 / 3

Viu só, no fim das contas esse teorema nem parece tão feio assim, né?

Resumindo: se você tem uma função F que é diferenciável e sua derivada tem inversa, então a função F também tem inversa F - 1 e essa inversa também é diferenciável e a derivada da inversa é o inverso da derivada

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 12, questão 4.

Seja

F x , y = ( e x + y , e x - y )

Com domínio U = R ² .

  1. Mostre que F admite inversa numa vizinhança de qualquer x , y R ²
  2. Determine F - 1 ' ( F - 1 , - 1 )
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

A função F admite inversa se as condições do teorema da função inversa são satisfeitas, isto é, se a derivada F ' de F for inversível num ponto X = ( x , y ) .

Vamos primeiro calcular F ' X

F ' X = J F X = f 1 x f 1 y f 2 x f 2 y = e x + y e x + y e x - y - e x - y

Passo 2

F ' ( X 0 ) tem inversa se seu determinante for diferente de zero. Calculando esse determinante

det F ' X = e x + y e x + y e x - y - e x - y = - e 2 x - e 2 x = - 2 e 2 x 0

Para qualquer valor de ( x , y ) .

Então, como esse determinante é diferente de zero, temos que F admite inversa numa vizinhança de qualquer x , y R ²

Passo 3

b )

Pelo teorema da função inversa

F - 1 ' Y 0 = F ' X 0 - 1

Onde

X 0 = - 1 , - 1

Y 0 = F X 0 = F - 1 , - 1 = e - 1 + - 1 , e - 1 - - 1 = e - 2 , e 0 = ( e - 2 , 1 )

F ' X 0 = e - 1 + - 1 e - 1 + - 1 e - 1 - - 1 - e - 1 - - 1 = e - 2 e - 2 e 0 - e 0 = e - 2 e - 2 1 - 1

Passo 4

Calculando F ' X 0 - 1

e - 2 e - 2 1 - 1 1 0 0 1 l 1 e - 2 1 1 1 - 1 1 e - 2 0 0 1 l 1 + l 2 2 0 1 - 1 1 e - 2 1 0 1 l 1 2 1 0 1 - 1 e ² 2 1 2 0 1 ( l 1 - l 2 ) 1 0 0 1 e ² 2 1 2 e ² 2 - 1 2

Logo

F - 1 ' e - 2 , 1 = e 2 2 1 2 e 2 2 - 1 2

Resposta

F - 1 ' e - 2 , 1 = e 2 2 1 2 e 2 2 - 1 2

Exercício Resolvido #2

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 11, questão 3.

Seja

f : U = R 3 f U = R ³

x , y , z u , v , w = ( x , y 3 , z 5 )

  1. Encontre explicitamente a inversa de f , que é uma função
  2. f - 1 : f U = R 3 U = R 3  

    u , v , w ( x , y , z )

  3. Encontre o jacobiano u , v , w x , y , z em qualquer ( x , y , z )
  4. Verifique que u , v , w x , y , z = 0 em qualquer ( x , 0 , z ) e em qualquer ( x , y , 0 )
  5. Os itens (b) e (c) contradizem o Teorema da Função Inversa? Explique.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Temos

F X = F x , y , z = x , y 3 , z 5 = u , v , w = Y

Temos um vetor

Y = u , v , w = x , y 3 , z 5

Escrito em função do vetor

X = ( x , y , z ) .

Se quisermos encontrar a inversa dessa função, temos que escrever cada componenete do vetor X como uma função do vetor Y :

Passo 2

Vamos lá:

u = x

x = u

E

v = y 3

y = v 3

E

w = z 5

z = w 5

Passo 3

Então

F X = F x , y , z = x , y 3 , z 5 = u , v , w = Y

F - 1 Y = F - 1 u , v , w = u , v 3 , w 5 = x , y , z = X  

Passo 4

b )

O jacobiano u , v , w x , y , z representa o determinante da matriz derivada da função F , ou seja F ' .

Vamos calcular primeiro a matriz derivada então para qualquer ( x , y , z )

F ' X = J F X = u x u y u z v x v y v z w x w y w z = 1 0 0 0 3 y ² 0 0 0 5 z 4

Passo 5

O Jacobiano será então:

det F ' X = 1 0 0 0 3 y 2 0 0 0 5 z 4 = 15 y 2 z 4

Passo 6

c )

Para ( x , 0 , z ) , temos

15 ( 0 ) 2 z 4 = 0

Para ( x , y , 0 ) , temos

15 y 2 0 4 = 0

Passo 7

d )

A hipótese do Teorema da Função Inversa diz que F ' X deve possuir inversa e isso acontece se det F ' X 0 , mas ele não afirma nada sobre quando det F ' X = 0 . Assim, esse exemplo não contradiz o teorema, mas prova que sua recíproca não é verdadeira, isto é, que se det F ' X = 0 não significa que F ' X não tenha inversa e, consequentemente, não significa que a derivada da inversa não seja o inverso da derivada.

Resposta

  1. F - 1 u , v , w = u , v 3 , w 5
  2. det F ' X = 15 y 2 z 4
  3. 15 ( 0 ) 2 z 4 = 0 e 15 y 2 0 4 = 0
  4. A hipótese do Teorema da Função Inversa diz que F ' X deve possuir inversa e isso acontece se det F ' X 0 , mas ele não afirma nada sobre quando det F ' X = 0 . Assim, esse exemplo não contradiz o teorema, mas prova que sua recíproca não é verdadeira, isto é, que se det F ' X = 0 não significa que F ' X não tenha inversa e, consequentemente, não significa que a derivada da inversa não seja o inverso da derivada.

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