Aproximação Linear da Função Inversa

Teoria Completa

Agora que a gente já aprendeu qual a aproximação linear de uma função vetorial e como calcular a inversa e sua derivada de uma função vetorial, vamos aprender a calcular uma aproximação linear para a função inversa.

É simples:

Se a função linear L ( X ) que aproxima F nas proximidades de um ponto P 0 é

L X = F P 0 + F ' P 0 . X - P 0 = Y

Então a função linear que melhor aproxima F - 1 nas proximidades do ponto Y 0 = F ( P 0 ) é:

L - 1 Y = P 0 + F - 1 ' Y 0 . Y - Y 0 = X

Ou seja, se uma função vetorial F ( X ) pode ser aproximada por uma função linear L ( X ) nas proximidades de um ponto P 0 , então a função inversa F - 1 ( Y ) pode ser aproximada, nas proximidades do ponto Y 0 = F ( P 0 ) , pela inversa L - 1 ( Y ) da função linear que melhor aproxima F nas proximidades de P 0 .

Veja só esse exemplo:

Seja

F X = F x , y = x 3 - 2 x y 2 , x + y

Sabendo que F é inversível numa vizinhança do ponto ( 1 , - 1 ) , determine a função linear que melhor aproxima F nas proximidades de Y 0 = F ( 1 , - 1 ) .

Olha, para achar a aproximação linear da função inversa, usamos:

L - 1 Y = P 0 + F - 1 ' Y 0 . Y - Y 0

Então vamos identificar quem é quem:

P 0 = 1 , - 1

Y 0 = F P 0 = F 1 , - 1 = - 1,0

Agora só precisamos calcular F - 1 ' Y 0 = ( F - 1 ) ' ( - 1,0 ) .

Masss, malandramente eu escolhi esse exemplo porque a gente JÁ calculou isso na teoria de Teorema da Função Inversa õ/. O resultado foi:

F - 1 ' - 1,0 = - 1 / 3 4 / 3 1 / 3 - 1 / 3

Então, só nos resta substituir:

L - 1 Y = P 0 + F - 1 ' Y 0 . Y - Y 0

L - 1 Y = 1 - 1 + - 1 / 3 4 / 3 1 / 3 - 1 / 3 . u + 1 v - 0

E só pra você não achar que esse ( u , v ) veio do céu, assim como

X = ( x , y )

Y = ( u , v )

Ou seja, são só as componentes do vetor. Você podia chamar de que letras quisesse.

Tudo tranquilo então? Dá umas olhadinhas nos exercícios agora.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Considere a função F : R 2 → R ² definida por

F x , y = x 3 + 2 x y + y 2 , x 2 + y

Sabendo que F é inversível próximo ao ponto ( 1,1 ) , determine a função afim que melhor aproxima a inversa da função F numa vizinhança do ponto F 1,1 = ( 4,2 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para achar a aproximação linear da função inversa, usamos:

L - 1 Y = P 0 + F - 1 ' Y 0 . Y - Y 0

Então vamos identificar quem é quem na nossa questão:

P 0 = 1 , 1

Y 0 = F P 0 = F 1 , 1 = 4 , 2

E vamos chamar nosso Y = ( u , v ) .

Passo 2

Agora só precisamos calcular F - 1 ' Y 0 = ( F - 1 ) ' ( 4 , 2 ) .

Para isso vamos precisar calcular F ' x , y :

F ' x , y = 3 x 2 + 2 y 2 x + 2 y 2 x 1

Passo 3

Pelo Teorema da Função Inversa temos:

F - 1 ' Y 0 = F ' X 0 - 1

F - 1 ' 4,2 = F ' 1,1 - 1

F - 1 ' 4 , 2 = 3 . 1 2 + 2 . 1 2.1 + 2.1 2.1 1 - 1

F - 1 ' 4 , 2 = 5 4 2 1 - 1

Passo 4

Calculando 5 4 2 1 - 1

5 4 2 1 1 0 0 1 → l 1 - 4 l 2 - 3 0 2 1 1 - 4 0 1 → l 1 - 3 1 0 2 1 - 1 3 4 3 0 1

→ l 2 - 2 l 1 1 0 0 1 - 1 3 4 3 2 3 - 5 3

Então

F - 1 ' 4,2 = - 1 3 4 3 2 3 - 5 3

Passo 5

Agora é só substituir

L - 1 Y = P 0 + F - 1 ' Y 0 . Y - Y 0

L - 1 Y = L - 1 u , v = 1 1 + - 1 3 4 3 2 3 - 5 3 . u - 4 v - 2

L - 1 u , v = 1 1 + - u 3 + 4 3 + 4 v 3 - 8 3 2 u 3 - 8 3 - 5 v 3 + 10 3 +

L - 1 u , v = - u 3 + 4 v 3 - 1 3 2 u 3 - 5 v 3 + 5 3

Resposta

L - 1 u , v = - u 3 + 4 v 3 - 1 3 2 u 3 - 5 v 3 + 5 3

Exercício Resolvido #2

Seja

F u , v = u 2 + u 2 v + 10 v ,   u + v ³

Sabendo que F é inversível próximo ao ponto ( 1,1 ) , calcule um valor aproximado para F - 1 11.8,2.2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para achar a aproximação linear da função inversa próximo ao ponto Y 0 = F P 0 , usamos:

L - 1 Y = P 0 + F - 1 ' Y 0 . Y - Y 0

Então vamos identificar quem é quem na nossa questão:

P 0 = 1,1

Y 0 = F P 0 = F 1,1 = 1 2 + 1 2 . 1 + 10.1   ,   1 + 1 3 = ( 12   ,   2 )

E vamos chamar nosso Y = ( x , y ) .

Beleza, então vamos achar essa aproximação linear depois substituímos no ponto ( 11.8   ,   2.2 ) .

Passo 2

Comecemos calculando F - 1 ' Y 0 = ( F - 1 ) ' ( 12 ,   2 ) .

Para isso vamos precisar calcular F ' u , v :

F ' x , y = 2 u + 2 u v u 2 + 10 1 3 v ²

Passo 3

Pelo Teorema da Função Inversa temos:

F - 1 ' Y 0 = F ' P 0 - 1

F - 1 ' 12   ,   2 = F ' 1,1 - 1

F - 1 ' 12   , 2 = 2.1 + 2.1 . 1 1 2 + 10 1 3.1 ² - 1

F - 1 ' 12   , 2 = 4 11 1 3 - 1

Passo 4

Calculando 4 11 1 3 - 1

4 11 1 3 1 0 0 1 → l 1 - 4 l 2 0 - 1 1 3 1 - 4 0 1 → l 2 + l 1 0 - 1 1 2 1 - 4 1 - 3

→ - l 1 0 1 1 2 - 1 4 1 - 3 → l 2 - 2 l 1 0 1 1 0 - 1 4 3 - 11 l 1 ⟷ l 2 1 0 0 1 3 - 11 - 1 4

Então

F - 1 ' 12,2 = 3 - 11 - 1 4

Passo 5

Agora é só substituir

L - 1 Y = P 0 + F - 1 ' Y 0 . Y - Y 0

L - 1 Y = L - 1 x , y = 1 1 + 3 - 11 - 1 4 . x - 12 y - 2