Campo Conservativo

Resumo

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Essa palavra "conservativo" pode te relembrar algo que a gente estudou em física, que chamamos de força conservativa. Apesar desses conceitos estarem relacionados, hoje estaremos interessados em entender o que é o campo conservativo que estudamos em cálculo.

O campo conservativo possui aquela ideia de que cálculos realizados dentro desse campo, não dependem da trajetória do objeto, mas apenas dos pontos iniciais e finais. Em cálculo encontraremos um campo conservativo se existir uma única função que está de acordo com a condição:

$$\vec F = \nabla f(x,y,z)$$

Ou seja, para que um campo vetorial $\vec F$ seja conservativo, é necessário que ele seja gradiente de uma função potencial $f$. Vamos entender com um exemplo.

Verifique se o campo $\vec F = (yz, xz+2y,xy+e^z)$ é conservativo.

Para resolver isso vamos precisar verificar se existe uma função $f$ onde o gradiente dessa função seja igual ao nosso campo. Sabemos que:

$$\nabla=\left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$$

Ou seja, temos que verificar se:

$$\vec F = (yz, xz+2y,xy+e^z) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$$

Então:

$$\frac{\partial f}{\partial x}=yz \rightarrow f = \int yz \text{ }dx$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}=xz+2y \rightarrow f = \int xz+2y \text{ }dy$$
$$\frac{\partial f}{\partial z}=xy + e^z \rightarrow f = \int xy + e^z \text{ }dz$$

Se existir uma função $f(x,y,z)$ que satisfaça as três igualdades, então existe uma função potencial para esse campo, e podemos considerar esse um campo conservativo! Vamos verificar:

$$f= \int yz \text{ }dx$$
$$f(x,y,z)=xyz +A(y,z)$$

O termo $A(y,z)$ aparece porque essa integral surgiu a partir de uma derivada parcial, então ao invés de aparecer uma constante na integral, aparece uma função do resto das variáveis, observe nos próximos passos:

$$f = \int xz+2y \text{ }dy$$

$$f(x,y,z)=xyz+y^2+B(x,z)$$

E por último:

$$f = \int xy + e^z \text{ }dz$$
$$f(x,y,z)=xyz+e^z+C(x,y)$$

Show, terminamos de integrar, então analisando a gente já percebe que $f(x,y,z)$ não é exatamente igual para todas as integrais, mas será que a gente não pode utilizar $A(y,z)$, $B(x,z)$ e $C(x,y)$ para achar nossa função potencial? Olha só:

$xyz$ aparece em todas as integrais, então podemos ter certeza que ele vai estar na nossa função potencial final:

$$f(x,y,z)=xyz+...$$

Porém ainda temos o $y^2$ e o $e^z$ que aparecem apenas uma vez nas nossas funções, mas se pararmos para pensar, podemos afirmar que:

$$f(x,y,z)=xyz+y^2+e^z+...$$

Já que $y^2+e^z$ está contido dentro de $A(y,z)$ no caso da primeira integral, que $e^z$ está contido dentro de $B(x,z)$ para a segunda integral e que $y^2$ está dentro de $C(x,y)$ para o resultado da terceira integral. E a única coisa q está faltando para gente é a constante de integração. Logo:

$$f(x,y,z)=xyz+y^2+e^z+K$$

Concluímos então que podemos considerar que esse campo é conservativo!

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