Função Potencial
Teoria
Introdução
Você já deve ter ouvido falar de um tal de campo conservativo na física. Ele tinha uma propriedade muito maneira: o trabalho independe da trajetória.
Esse negócio de campo conservativo não é da física, mas do cálculo. Um campo conservativo é aquele que é gradiente de uma função potencial , ou seja,
Oi?!
Calma jovem, vou te explicar tudo com bastante calma.
Função Potencial
Vamos considerar o seguinte campo . Se a gente quer saber se ele é conservativo, devemos tentar achar uma função escalar que satisfaça aquela equação ali de cima. Mas quem é aquele triangulo de cabeça pra baixo?!
Aquele cara se chama Nabla, e é um operador matemático! Se liga
Ou seja, quando fazemos , queremos isso aqui
No nosso exemplo:
Basicamente é isso! Vamos ter que calcular as três integrais e ver se realmente existe uma única função que satisfaça essas três igualdades, vem comigo!
O termo surgiu porque ao tomarmos a derivada parcial, consideramos tudo que era função de constante. Relaxa que você já vai entender isso aí, vamos continuar integrando
Por fim, calculando a terceira integral
Tá tranquilo! Agora que a gente calculou as três, vamos comparar os resultados e ver se existe uma função que se encaixe aí:
Vamos lá, percebe que se repete nas três? Então ele com certeza ta na função:
Agora vamos analisar o e o que aparecem apenas uma vez, será que a função pode conter os dois assim?
Isso de fato acontece! É só a gente imaginar que está dentro daquele , está naquele e está naquele . Concorda?
Por fim, a gente ainda tem que considerar uma constante K de integração, não se esqueça dela!! A função fica assim:
Mais ainda, como achamos uma função potencial, o campo é conservativo! Caso contrário, ou seja, caso não existisse uma função que se encaixasse nas três igualdades, o campo não seria conservativo!
Vou te deixar um passo a passo maroto aqui:
Passo 1: Integrar em relação a e obter a com o termo
Passo 2: Integrar em relação a e obter a com o termo B
Passo 3: Integrar em relação a e obter a com o termo
Passo 4: Comparar as três equações e descobrir uma única função que satisfaça todas igualdades.
OBS: Caso você não ache o campo não será conservativo!
O rotacional de um campo conservativo
Po, não tem um jeito mais fácil de ver se o campo é conservativo, não?
Por sorte, tem uma forma muito mais fácil (e claro, se não for, não vamos nem tentar achar a função potencial).
Isso porque todo campo conservativo deve ser irrotacional, ou seja, seu rotacional deve ser zero:
Para o o rotacional fica:
E para o :
Cuidado. Se o rotacional der diferente de zero o campo não é conservativo. Mas, se o campo for irrotacional, nada podemos afirmar ainda.
Eu recomendo fortemente que você verifique essa condição que, por mais que tenha contas meio chatas as vezes, é melhor do que ficar fazendo aquelas integrais pra achar a função potencial e não chegar em lugar nenhum.
Propriedades do campo conservativo
Já definimos o que é um campo conservativo e sabemos como verificar se ele é ou não conservativo. Mas no que isso ajuda? É disso que eu quero falar com você agora. Se você confirmar que é conservativo, você pode facilitar a integral de linha com essas propriedades
Se a curva tiver ponto inicial e final , então
O que essa propriedade diz é que se é conservativo a integral de linha pode ser calculada através da função potencial no ponto final menos a potencial no ponto inicial. Não importa qual a curva, só os pontos inicial e final. E sim, se a curva for fechada, ou seja, a integral de linha sempre vai valer zero!
E quando não achamos a potencial?
Cara, vou te contar um segredo muito triste: muitas vezes não será fácil achar a função potencial :’(
Por sorte, a gente ainda pode usar o fato que a integral não depende da curva! Como? A gente vai escolher uma curva com os mesmos pontos inicial e final, mas que seja fácil de calcular a integral de linha!
Deixa eu te mostrar como isso é importante, vê esse exemplo aqui!
Exemplo
Calcule a integral de linha do campo conservativo ao longo da curva parametrizada por , .
Passo 1: Se o campo é conservativo, vamos tentar encontrar uma função potencial
Eita, aqui temos algo bem difícil de integrar. Então, não me parece viável encontrar uma função potencial... E agora? Vamos ter que fazer essa integral por essa curva super complicada também? Não! Vamos usar a independência do caminho!
Passo 2: Encontrar os pontos inicial e final
Passo 3: Definir uma curva simples que ligue a
A curva mais simples nesse caso vai ser a reta que liga os dois pontos, parametrizada por:
(mas cuidado com a orientação, nesse caso vai de 1 a -1)
Com vetor tangente:
Ou seja, saímos de uma curva absolutamente bizarra pra uma super tranquilinha , totalmente viável para integrarmos.
Passo 4: calcular a integral
Simplificamos bastante as coisas, não achou? O truque foi escolher as curvas mais simples possível. Quase sempre vão ser retas e eu recomendo fortemente que você escolha retas que só variem em uma variável, mesmo que tenha que criar mais de uma (por exemplo: para ligar o ponto ao ponto vale a pena criar as retas e, ao invés de criar uma reta só).
Condição mais do que suficiente para o campo ser conservativo
No exemplo que a gente viu, o enunciado já dizia que o campo era conservativo, mas normalmente não vai ser assim, você vai ter que descobrir por você mesmo.
E, se não da pra achar a função potencial, como vamos saber se o campo é mesmo conservativo e vamos poder usar essa propriedade que eu mal conheço mas já considero pakas?
Lembra que vimos que um campo conservativo deve ser irrotacional, e que isso nos garantia que podíamos ir até o final para calcularmos o potencial?
Nesse caso, é só fazer o mesmo teste. Na verdade, o campo ter rotacional e ser definido pra todo o espaço em que estamos. Isso já é mais do que suficiente para afirmarmos que o campo é mesmo conservativo.
Quer ver, vamos usar o exemplo acima:
Então:
Além disso, está definida para todos os reais. Logo, a função está definida para todo Assim, poderíamos saber que o campo é conservativo mesmo que a questão não tivesse nos falado.
Entendeu? Vamos à prática que você pega melhor!
O rotacional de um campo conservativo
Propriedades do campo conservativo
E quando não achamos a potencial?
Condição mais do que suficiente para o campo ser conservativo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
PUC-RJ - Cálculo 3 - P2 2012.2 - 3a
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. A função , onde , é um potencial para o campo , para
Passo 1
Bom, para ser um potencial do campo , precisamos que:
Onde é o operador de derivadas parciais:
Temos que mostrar então o seguinte:
Primeiro, nós vamos trabalhar com o lado esquerdo dessa equação, depois com o direito, ok?
Passo 2
Vamos começar achando quem é . O enunciado nos forneceu esses dados:
e
Fazendo esse cálculo, temos que
O problema também nos forneceu quem é :
Substituindo o valor de em , ficamos com
Beleza?
Passo 3
Como vimos no Passo 1, queremos mostrar que
Já achamos quem é , agora vamos achar as derivadas parciais de
O enunciado nos forneceu essa informação:
e
Substituindo o valor de em , ficamos com
Agora é achar as derivadas parciais. Vamos lá!
O que nos dá
Passo 4
Agora é verificar se
E o que encontramos foi,
Resposta
Verdadeira.
Exercício Resolvido #2
George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009
Encontre uma função potencial para o campo
Passo 1
Vamos lá galera, a definição de função potencial é essa aqui
Sendo que é esse operador aqui
Então o que o enunciado quer é que achemos a função de forma que
Em outras palavras
Passo 2
Vamos começar pela primeira equação
Como é constante em relação a , essa integral fica
Vamos usar as outras equações pra descobrir quem é esse termo
Passo 3
A segunda equação diz que
Mas também sabemos que
Derivando isso em relação a temos
Agora é só igual isso que achamos com o valor original
Portanto é constante em relação a mas pode não ser em relação a , precisamos descobrir isso. Podemos dizer que
Passo 4
Vamos para a nossa terceira equação pra descobrir esse valor de , ela diz que
No passo anterior descobrimos que pode ser escrito por
Só precisamos derivar esse cara em relação a e igualar a equação anterior
Então descobrimos que também é constante em relação a , logo esse termo é uma constante numérica !
Não esqueça desse termo! A função potencial sempre vai ter uma constante somada a ela!
Passo 5
Encontramos a função potencial! Ela é escrita por
Resposta
Exercício Resolvido #3
CEFET - Cálculo Vetorial - P2 Bassani 2013.1 - 1c
Determine uma função tal que sendo e use este resultado para calcular sobre a curva definida pela semicircunferência superior que começa em e termina em .
Passo 1
Vamos usar nosso passo a passo para obter a função potencial!
Integrando a primeira componente em relação a vamos ter
Passo 2
Derivando a expressão de que achamos no passo anterior com relação a , vamos ter
Pela definição isso, deve ser igual a , ou seja
Integrando vamos ter que
Passo 3
Observa que aqui não surgiu os termos em . Isso ocorreu porque o campo era bidimensional, dai tudo fica mais fácil né? Assim, a nossa função potencial é
Passo 4
Se tem potencial, ele é conservativo! Então podemos usar a propriedade
Resposta
Exercício Resolvido #4
Diomara, Exemplo 6.10
Considere a curva parametrizada por , . Calcule , onde