Função Potencial

Teoria Completa

Introdução

Você já deve ter ouvido falar de um tal de campo conservativo na física. Ele tinha uma propriedade muito maneira: o trabalho independe da trajetória.

Esse negócio de campo conservativo não é da física, mas do cálculo. Um campo conservativo é aquele que é gradiente de uma função potencial f , ou seja,

F → = ∇ f ( x , y , z )

Oi?!

Calma jovem, vou te explicar tudo com bastante calma.

Função Potencial

Vamos considerar o seguinte campo F → = y z , x z + 2 y , x y + e z . Se a gente quer saber se ele é conservativo, devemos tentar achar uma função escalar f que satisfaça aquela equação ali de cima. Mas quem é aquele triangulo de cabeça pra baixo?!

Aquele cara se chama Nabla, e é um operador matemático! Se liga

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

Ou seja, quando fazemos F → = ∇ f x , y , z , queremos isso aqui

F → = F 1 , F 2 , F 3 = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

No nosso exemplo:

y z , x z + 2 y , x y + e z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∂ f ∂ x = y z → f = ∫ y z d x

∂ f ∂ y = x z + 2 y → f = ∫ x z + 2 y d y

∂ f ∂ z = x y + e z → f = ∫ x y + e z d z

Basicamente é isso! Vamos ter que calcular as três integrais e ver se realmente existe uma única função f x , y , z que satisfaça essas três igualdades, vem comigo!

f = ∫ y z d x

f x , y , z = x y z + A ( y , z )

O termo A ( y , z ) surgiu porque ao tomarmos a derivada parcial, consideramos tudo que era função de y , z constante. Relaxa que você já vai entender isso aí, vamos continuar integrando

f = ∫ x z + 2 y d y

f x , y , z = x y z + y 2 + B x , z

Por fim, calculando a terceira integral

f = ∫ x y + e z d z

f x , y , z = x y z + e z + C x , y

Tá tranquilo! Agora que a gente calculou as três, vamos comparar os resultados e ver se existe uma função que se encaixe aí:

f = x y z + A ( y , z )

f = x y z + y 2 + B x , z

f = x y z + e z + C x , y

Vamos lá, percebe que x y z se repete nas três? Então ele com certeza ta na função:

f x , y , z = x y z + …

Agora vamos analisar o y 2 e o e z que aparecem apenas uma vez, será que a função pode conter os dois assim?

f x , y , z = x y z + y 2 + e z + …

Isso de fato acontece! É só a gente imaginar que y 2 + e z está dentro daquele A y , z , e z está naquele B x , z e y 2 está naquele C x , y . Concorda?

Por fim, a gente ainda tem que considerar uma constante K de integração, não se esqueça dela!! A função fica assim:

f x , y , z = x y z + y 2 + e z + K

Mais ainda, como achamos uma função potencial, o campo F → é conservativo! Caso contrário, ou seja, caso não existisse uma função f que se encaixasse nas três igualdades, o campo não seria conservativo!

Vou te deixar um passo a passo maroto aqui:

Passo 1: Integrar F 1 em relação a x e obter a f ( x , y , z ) com o termo A ( y , z )

Passo 2: Integrar F 2 em relação a y e obter a f ( x , y , z ) com o termo B ( x , z )

Passo 3: Integrar F 3 em relação a z e obter a f ( x , y , z ) com o termo C ( x , y )

Passo 4: Comparar as três equações e descobrir uma única função f x , y , z que satisfaça todas igualdades.

OBS: Caso você não ache f ( x , y , z ) o campo não será conservativo!

O rotacional de um campo conservativo

Po, não tem um jeito mais fácil de ver se o campo é conservativo, não?

Por sorte, tem uma forma muito mais fácil (e claro, se não for, não vamos nem tentar achar a função potencial).

Isso porque todo campo conservativo deve ser irrotacional, ou seja, seu rotacional deve ser zero:

∇ × F → = 0 →

Para o R 2 o rotacional fica:

r o t F → =   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

E para o R 3 :

r o t F → = i → j → k → ∂ x ∂ y ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z i → + ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x j → + ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k →

Cuidado. Se o rotacional der diferente de zero o campo não é conservativo. Mas, se o campo for irrotacional, nada podemos afirmar ainda.

Eu recomendo fortemente que você verifique essa condição que, por mais que tenha contas meio chatas as vezes, é melhor do que ficar fazendo aquelas integrais pra achar a função potencial e não chegar em lugar nenhum.

Propriedades do campo conservativo

Já definimos o que é um campo conservativo e sabemos como verificar se ele é ou não conservativo. Mas no que isso ajuda? É disso que eu quero falar com você agora. Se você confirmar que F → é conservativo, você pode facilitar a integral de linha com essas propriedades

Se a curva tiver ponto inicial A e final B , então

∫ C F → ⋅ d r = f B - f ( A )

O que essa propriedade diz é que se F → é conservativo a integral de linha pode ser calculada através da função potencial no ponto final menos a potencial no ponto inicial. Não importa qual a curva, só os pontos inicial e final. E sim, se a curva for fechada, ou seja, A = B a integral de linha sempre vai valer zero!

E quando não achamos a potencial?

Cara, vou te contar um segredo muito triste: muitas vezes não será fácil achar a função potencial :’(

Por sorte, a gente ainda pode usar o fato que a integral não depende da curva! Como? A gente vai escolher uma curva com os mesmos pontos inicial e final, mas que seja fácil de calcular a integral de linha!

Deixa eu te mostrar como isso é importante, vê esse exemplo aqui!

Exemplo

Calcule a integral de linha do campo conservativo F x , y = ( 2 x , cos ⁡ y + 2 y arctg ⁡ y ) ao longo da curva C parametrizada por γ θ = ( 1 + sen ⁡ θ cos ⁡ θ , 1 + sen ⁡ θ sen ⁡ θ ) , θ ∈ [ 0 , π ] .

Passo 1: Se o campo é conservativo, vamos tentar encontrar uma função potencial

F 1 = ∂ f ∂ x

f = ∫ F 1 d x = ∫ 2 x   d x = x 2 + A ( y )

f = ∫ F 2 d y = ∫ cos ⁡ y + 2 y arctg ⁡ y d y

Eita, aqui temos algo bem difícil de integrar. Então, não me parece viável encontrar uma função potencial... E agora? Vamos ter que fazer essa integral por essa curva super complicada também? Não! Vamos usar a independência do caminho!

Passo 2: Encontrar os pontos inicial e final

θ = 0   → A = 1 + sen ⁡ 0 cos ⁡ 0 ,   1 + sen ⁡ 0 sen ⁡ 0 ) = ( 1,0 )

θ = π   → B = 1 + sen ⁡ π cos ⁡ π ,   1 + sen ⁡ π sen ⁡ π ) = ( - 1,0 )

Passo 3: Definir uma curva simples que ligue A a B

A curva mais simples nesse caso vai ser a reta que liga os dois pontos, parametrizada por:

x = t ,   y = 0

σ → = t , 0

(mas cuidado com a orientação, nesse caso t vai de 1 a -1)

Com vetor tangente:

σ → ' = d t d t , d 0 d t = ( 1,0 )

Ou seja, saímos de uma curva absolutamente bizarra γ θ = ( 1 + sen ⁡ θ cos ⁡ θ , 1 + sen ⁡ θ sen ⁡ θ ) pra uma super tranquilinha σ → = t , 0 , totalmente viável para integrarmos.

Passo 4: calcular a integral

∫ 1 - 1 2 t , cos ⁡ 0 + arctg ⁡ 0 ⋅ 1,0 d t = ∫ 1 - 1 2 t   d t = t 2 │ 1 - 1 = 1 - 1 = 0

Simplificamos bastante as coisas, não achou? O truque foi escolher as curvas mais simples possível. Quase sempre vão ser retas e eu recomendo fortemente que você escolha retas que só variem em uma variável, mesmo que tenha que criar mais de uma (por exemplo: para ligar o ponto ( 0,0 ) ao ponto ( 1,1 ) vale a pena criar as retas σ → 1 = t , 0 ,   0 ≤ t ≤ 1 e   σ → 2 = 1 , t ,   0 ≤ t ≤ 1 , ao invés de criar uma reta só).

Condição mais do que suficiente para o campo ser conservativo

No exemplo que a gente viu, o enunciado já dizia que o campo era conservativo, mas normalmente não vai ser assim, você vai ter que descobrir por você mesmo.

E, se não da pra achar a função potencial, como vamos saber se o campo é mesmo conservativo e vamos poder usar essa propriedade que eu mal conheço mas já considero pakas?

Lembra que vimos que um campo conservativo deve ser irrotacional, e que isso nos garantia que podíamos ir até o final para calcularmos o potencial?

Nesse caso, é só fazer o mesmo teste. Na verdade, o campo ter rotacional 0 e ser definido pra todo o espaço em que estamos. Isso já é mais do que suficiente para afirmarmos que o campo é mesmo conservativo.

Quer ver, vamos usar o exemplo acima:

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x cos ⁡ y + 2 y arctg ⁡ y = 0 ,     ∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y 2 x = 0

Então:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Além disso, arctg ⁡ y   está definida para todos os reais. Logo, a função está definida para todo R 2 .   Assim, poderíamos saber que o campo é conservativo mesmo que a questão não tivesse nos falado.

Entendeu? Vamos à prática que você pega melhor!

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo 3 - P2 2012.2 - 3a

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. A função f x , y , z = 1 r , onde r = x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 ≠ 0 , é um potencial para o campo F → r = - 1 r 3 r → , para r → = x , y , z ∈ R 3 - 0,0 , 0 .

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Passo 1

Bom, para f ser um potencial do campo F → , precisamos que:

F → = ∇ f

Onde é o operador de derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y ,   ∂ ∂ z

Temos que mostrar então o seguinte:

F → = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Primeiro, nós vamos trabalhar com o lado esquerdo dessa equação, depois com o direito, ok?

Passo 2

O campo F → pode ser escrito como:

F → r = - x r 3 , - y r 3 , - z r 3

Substituindo o valor de r dado pelo enunciado:

F → x , y , z = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Beleza?

Passo 3

A função potencial f , pode ser escrita como:

f x , y , z = 1 r = x 2 + y 2 + z 2 - 1 / 2

Logo,

∂ f ∂ x = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

∂ f ∂ y = - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

∂ f ∂ z = - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

O que nos dá

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Passo 4

Assim, nós provamos que:

F → = ∇ f = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Resposta

Verdadeira.

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009

Encontre uma função potencial f para o campo F = y sen ⁡ z i + x sen ⁡ z j + x y cos ⁡ z k

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Passo 1

Vamos lá galera, a definição de função potencial é essa aqui

F → = ∇ f x , y , z

Sendo que é esse operador aqui

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

Então o que o enunciado quer é que achemos a função f de forma que

F → = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Em outras palavras

∂ f ∂ x = y sen ⁡ z

∂ f ∂ y = x sen ⁡ z

∂ f ∂ z = x y cos ⁡ z

Passo 2

Vamos começar pela primeira equação

∂ f ∂ x = y sen ⁡ z

f = ∫ y sen ⁡ z d x

Como ( y sen ⁡ z ) é constante em relação a x , essa integral fica

f = x y sen ⁡ z + A y , z

Vamos usar as outras equações pra descobrir quem é esse termo A y , z

Passo 3

A segunda equação diz que

∂ f ∂ y = x sen ⁡ z

Mas também sabemos que

f = x y sen ⁡ z + A y , z

Derivando isso em relação a y temos

∂ f ∂ y = x sen ⁡ z + ∂ A ∂ y

Agora é só igual isso que achamos com o valor original

x sen ⁡ z = x sen ⁡ z + ∂ A ∂ y

∂ A ∂ y = 0

Portanto A y , z é constante em relação a y mas pode não ser em relação a z , precisamos descobrir isso. Podemos dizer que

A y , z = B ( z )

f = x y sen ⁡ z + B ( z )

Passo 4

Vamos para a nossa terceira equação pra descobrir esse valor de B z , ela diz que

∂ f ∂ z = x y cos ⁡ z

No passo anterior descobrimos que f pode ser escrito por

f = x y sen ⁡ z + B z

Só precisamos derivar esse cara em relação a z e igualar a equação anterior

∂ f ∂ z = x y cos ⁡ z + ∂ B ∂ z

x y cos ⁡ z + ∂ B ∂ z = x y cos ⁡ z

∂ B ∂ z = 0

Então descobrimos que B z também é constante em relação a z , logo esse termo é uma constante numérica K !

B z = K

Não esqueça desse termo! A função potencial sempre vai ter uma constante K somada a ela!

Passo 5

Encontramos a função potencial! Ela é escrita por

f = x y sen ⁡ z + K

Resposta

f = x y sen ⁡ z + K

Exercício Resolvido #3

CEFET - Cálculo Vetorial - P2 Bassani 2013.1 - 1c

Determine uma função f tal que F = ∇ f sendo F   x ,   y = y   i + x + 2 y     j e use este resultado para calcular ∫ C   F . d r   sobre a curva definida pela semicircunferência superior que começa em ( 0 ,   1 ) e termina em ( 2 ,   1 ) .

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Passo 1

Vamos usar nosso passo a passo para obter a função potencial!

∂ f ∂ x = y

Integrando a primeira componente em relação a x vamos ter

f = x y + A y

Passo 2

Derivando a expressão de f que achamos no passo anterior com relação a y , vamos ter

∂ f ∂ y = x + d A d y

Pela definição isso, deve ser igual a F 2 , ou seja

x + d A d y = x + 2 y → d A d y = 2 y

Integrando vamos ter que A y = y 2 + K

Passo 3

Observa que aqui não surgiu os termos em z . Isso ocorreu porque o campo era bidimensional, dai tudo fica mais fácil né? Assim, a nossa função potencial é

f x , y = x y + y 2 + K

Passo 4

Se F → tem potencial, ele é conservativo! Então podemos usar a propriedade

∫ C F ∙ d r = f B - f A

∫ C F ∙ d r = 2 ∙ 1 + 1 2 + K - 0 ∙ 1 + 1 2 + K = 2 + 1 + K - 0 + 1 + K = 2

Resposta

f x , y = x y + y 2 + K

∫ C F ∙ d r = 2

Exercício Resolvido #4

Diomara, Exemplo 6.10

Considere a curva C parametrizada por σ → = e t - 1 ,       sen ( π / t ) , 1 ≤ t ≤ 2 . Calcule ∫ C   F ⋅ d r , onde F → = ( 2 x cos ⁡ y ,   - x 2 sen   y ) .

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Passo 1

A gente podia tentar usar a definição nesse exercício, mas como temos seno na parametrização, ao colocar a parametrização dentro da função teríamos seno do seno e não sabemos integrar esse tipo de coisa. Vamos tentar usar campos conservativos então. Para isso precisamos achar f de modo que

F → = ∇ f ( x , y )

Passo 2

Seguindo o nosso passo a passo, temos que

∂ f ∂ x = 2 x cos ⁡ y → f x , y = x 2 cos ⁡ y + A ( y )

∂ f ∂ y = - x 2 sen   y → f x , y = x 2 cos ⁡ y + B x

Passo 3

Agora comparamos as duas equações para f x , y e chegamos à conclusão que:

x 2 cos ⁡ y + A y = x 2 cos ⁡ y + B x

A y = B x = k

Passo 4

Juntando tudo isso, fomos capazes de obter uma função potencial para F → :

f x , y = x 2 cos ⁡ y + k

Por isso, o campo é conservativo! Como temos a liberdade de escolher o k vamos fazer ele igual a zero ;)

Passo 5

Finalmente, podemos calcular a integral pedida. Temos que:

∫ C   F ⋅ d r = f ( B ) - f ( A )

∫ C   F ⋅ d r = f ( e ,   1 ) - f ( 1,0 )

∫ C   F ⋅ d r = e 2 cos ⁡ 1 - 1

Resposta

e 2 cos ⁡ 1 - 1

Exercício Resolvido #5

George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education Brasil ltda., 2009, pp. 493-25.

Mostre que os valores da integral

∫ A B z 2 d x + 2 y   d y + 2 x z   d z

Não depende do caminho tomado de A a B.

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Passo 1

Como vimos na teoria, a independência do caminho é uma propriedade dos campos conservativos, pois para campos conservativos, com função potencial f :

∫ A B F → ∙ d r = f B - f ( A )

Ou seja, o valor da integral só depende dos pontos final e inicial da curva, como foi pedido na questão.

Então só precisamos verificar se o campo é mesmo conservativo!

Passo 2

Temos o campo:

F → = F 1 , F 2 , F 3 = z 2 , 2 y , 2 x z

Vamos lembrar que campos conservativos devem ser irrotacionais, então vamos testar essa condição:

r o t   F → = ∇ × F → = i → j → k → ∂ x ∂ y ∂ z F 1 F 2 F 3

= ∂ 2 x z ∂ y - ∂ 2 y ∂ z i → + ∂ z 2 ∂ z - ∂ 2 x z ∂ x j → + ∂ 2 y ∂ x - ∂ z 2 ∂ y k →