Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 29
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas usando uma calculadora (ou um computador). Desenhe vários membros de cada família na mesma tela.
Passo 1
Bom, galera. Aqui o exercício fala em trajetórias ortogonais. Parece um nome complicado, mas calma que a gente já vai entender juntos.
“Ortogonal”, relembrando, dá a ideia de que duas coisas fazem entre si. Quais seriam essas coisas aqui no nosso exercício? Bom, uma é a curva que o enunciado nos deu: , e a outra é justamente o que ele nos pede, a tal da trajetória ortogonal.
Mas o que significaria duas curvas fazerem entre si? A gente vai olhar se em cada ponto em que elas se cruzam, suas inclinações fazem entre si. Então, nosso foco vai ser trabalhar com as derivadas dessas curvas, beleza?
Passo 2
Bora ver como é a inclinação (ou derivada) da curva do enunciado? Pra isso, vamos pegar a equação e derivar os dois lados em relação a . Lembre que depende de , então temos que usar a regra da cadeia, mas é uma constante e sua derivada se anula.
Passo 3
Agora que sabemos a inclinação da curva do enunciado, como encontrar a inclinação da trajetória ortogonal? A gente pode usar o fato de que duas retas formam se a inclinação de uma é, ao mesmo tempo, oposto e inverso da inclinação da outra. Ou seja, pra achar a derivada da trajetória ortogonal, é só trocar o sinal e inverter a fração da derivada da curva do enunciado:
Passo 4
No passo anterior, encontramos a derivada da trajetória ortogonal, e isso nos deu uma informação muito da hora: uma equação diferencial separável que representa a curva que queremos encontrar. Bora resolver?
Agora a gente usa algumas propriedades de logaritmo e módulo pra dar aquela ajeitada na nossa equação:
Chegamos numa expressão até bonitinha pra nossa trajetória ortogonal, não é mesmo? É uma família de parábolas. Pra você ver como faz sentido chamá-la de “ortogonal”, olha esse desenho com as duas famílias de curvas, olha como elas realmente parecem fazer em cada ponto!
Resposta
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