Enunciado

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Se y = f ( u ) e u = g ( x ) , onde f e g possuem três derivadas, encontre uma fórmula para d 3 y / d x 3 análoga à dada no exercício 95.

Passo 1

O exercício pede para encontramos uma expressão para a terceira derivada de uma função composta y = f g x . Pode-se usar a resolução do exercício 95 para partir direto da segunda derivada. Em nossa resolução partiremos do começo calculando todas as derivadas até a terceira.

Passo 2

Usando que u = g x , vamos aplica a regra da cadeia para achar a primeira derivada de y :

y ' = f u ' = f ' u ⋅ u '

Passo 3

Vamos usar agora a regra do produto para achar a segundo derivada:

y ' ' = f ' u ' ⋅ u ' + f ' u ⋅ u ' '

Como f ' u ' = f ' ' u ⋅ u ' , temos que

y ' ' = f ' ' u ⋅ u ' ⋅ u ' + f ' u ⋅ u ' '

Passo 4

Por fim, vamos drivar a expressão encontrada no passo 3 para, assim, achar a terceira derivada:

y ' ' ' = f ' ' u ' ⋅ u ' 2 + f ' ' u ⋅ u ' 2 ' + f ' u ' ⋅ u ' ' + f ' u ⋅ u ' ' '

y ' ' ' = f ' ' ' u ⋅ u ' ⋅ u ' 2 + f ' ' u ⋅ 2 u ' ⋅ u ' ' + f ' ' u ⋅ u ' ⋅ u ' ' + f ' u ⋅ u ' ' '

Usando a notação de Leibniz:

d 3 y d x 3 = d 3 f d u 3 d u d x 3 + 3   d 2 f d u 2   d 2 u d x 2   d u d x + d f d u d 3 u d x 3

Resposta

d 3 y d x 3 = d 3 f d u 3 d u d x 3 + 3   d 2 f d u 2   d 2 u d x 2   d u d x + d f d u d 3 u d x 3

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