Enunciado

Se y = f ( u ) e u = g ( x ) , onde f e g são funções duas vezes deriváveis, mostre que

d 2 y d x 2 = d 2 y d u 2   d u d x 2 + d y d u d 2 u d x 2

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😊

O exercício pede para demonstramos uma expressão para a segunda derivada de uma função composta y = f g x . Para isso, derivamos duas vezes usando a regra da cadeia.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Passo 2

Usando que u = g x , vamos achar a primeira derivada de y :

y ' = f u ' = f ' u ⋅ u '

Vamos usar agora a regra do produto para achar a segundo derivada:

y ' ' = f ' u ' ⋅ u ' + f ' u ⋅ u ' '

Como f ' u ' = f ' ' u ⋅ u ' , temos que

y ' ' = f ' ' u ⋅ u ' ⋅ u ' + f ' u ⋅ u ' '

Usando a notação de Leibniz:

d 2 y d x 2 = d 2 y d u 2   d u d x 2 + d y d u d 2 u d x 2

Bacana, não é? Responde Aí! 👀

Resposta

Demonstração.

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22-Calcule ϕ ' ϕ x sendo ϕ dada por:a) ϕ x = s e n ( x ) b) ϕ x = 1 x c) ϕ x = l nx 2 + 1 d) ϕ x = e x 2
21-Seja ϕ a função dada por ϕ x = x 2 + 1 . Calcule:A) ϕ ' ( ϕ x ) B) ϕ ϕ x '
20- Suponha f : R → R derivável e considere a função dada por y = x 2 f x 2 + 1 . Verifique que d y d x = 2 x . f x 2 + 1 + 2 x 3 f ' ( x 2 + 1 ) Expresse d y d x│ x = 1 │ em termos de f 2ef ' ( 2 )
17- Considere as funções dadas por y = a x 2 e y = - x 2 + 1 . Determine a para que os gráficos se interceptem ortogonalmente. (Os gráficos interceptam ortogonalmente em ( x 0 , y 0 ) se as retas tang
18 -Determine a para que as circunferências y 2 + x 2 = 1 e x - a 2 + y 2 = 1 se interceptem ortogonalmente.