i) f(x) = lnx / x

Passo 1

Para sabermos a concavidade e os pontos de inflexão é necessário derivar duas vezes a função e depois fazer o estudo do sinal. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função:

f´(x) = 1 - l n x x 2   → f´´(x) = 2 ln ⁡ x -   3 x 3

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos:

f´´(x) = 0 2 ln (x) – 3 = 0 ln (x) = 3 2 → x = e 3 2

Gente, só vamos lembrar que o x sempre tem que ser positivo por conta da função ln (x).

Logo,

f(x) e 3 2 )

f(x) > 0 : ( e 3 2 , + )

Passo 3

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

( e 3 2 , + )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para baixo no intervalo:

( 0, e 3 2 )

O ponto de inflexão é onde a função muda a sua concavidade, nesse caso é e 3 2

Resposta

côncava para cima no intervalo: ( e 3 2 , + )

côncava para baixo no intervalo: ( 0, e 3 2 )

Ponto de inflexão: e 3 2

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