Enunciado

i) f(x) = (l n x)/(x)

Passo 1

Para sabermos a concavidade e os pontos de inflexão é necessário derivar duas vezes a função e depois fazer o estudo do sinal. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função:

f´(x) = (1 - l n x)/(x^2) -> f´´(x) = (2 ln (x) - 3)/(x^3)

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos:

f´´(x) = 0 -> 2 ln (x) – 3 = 0 -> ln (x) = (3)/(2) -> x = e^((3)/(2))

Gente, só vamos lembrar que o x sempre tem que ser positivo por conta da função ln (x).

Logo,

f(x) e 3 2 )

f(x) > 0 : ( e^((3)/(2)) , + oo )

Passo 3

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

( e^((3)/(2)) , + oo )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para baixo no intervalo:

( 0, e^((3)/(2)) )

O ponto de inflexão é onde a função muda a sua concavidade, nesse caso é e^((3)/(2))

Resposta

côncava para cima no intervalo: ( e^((3)/(2)) , + oo )

côncava para baixo no intervalo: ( 0, e^((3)/(2)) )

Ponto de inflexão: e^((3)/(2))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.h) f x = 1 - e - x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.l) g x = x 2 - x 3 3
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.c) f x = xe - 2 x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.e) g x = e - x - e - 2 x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.d) x t = t 2 + 1 t