Enunciado

l) g(x) = root(3)(x^2 - x^3)

Passo 1

Para sabermos a concavidade e os pontos de inflexão é necessário derivar duas vezes a função e depois fazer o estudo do sinal. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função:

g (x) = root(3)(x^2 - x^3)

Então, pela regra da cadeia:

(f (h (x)))^' = f^' (h (x)) * h ' ( x )

No nosso caso, temos que f (x) = root(3)(x) = x^((1)/(3)) e h (x) = x^2 - x^3 e g (x) = f (h (x)) = root(3)(x^2 - x^3) , beleza? Assim, vamos calcular cada derivada separadamente e juntar nessa fórmula aí de cima:

h^' (x) = 2 x - 3 x^2

f^' (x) = (1)/(3) x^((1)/(3) - 1) = (1)/(3 root(3)(x^2))

Dessa forma:

f^' (h (x)) = (1)/(3 root(3)(( x^2 - x^3 )^2))

Até aqui, tranquilo? Agora, vamos só colocar essas informações na fórmula que te falei ali no início:

(f (h (x)))^' = g ' ( x ) = f^' (h (x)) * h ' ( x )

g^' (x) = (1)/(3 root(3)((x^2 - x^3)^2)) * (2 x - 3 x^2)

->

g^' (x) = (2 x - 3 x^2)/(3 root(3)((x^2 - x^3)^2))

Beleza?

Passo 3

Show! Vamos derivar mais uma vez esse cara! Usando a regra do quociente:

(f (x))/(h (x)) = (f^' (x) h (x) - f (x) h ' ( x ))/((h (x))^2)

Vamos lá:

g^(' ') (x) = (1)/(3) ((2 x - 3 x^2)^' (root(3)((x^2 - x^3)^2)) - (2 x - 3 x^2) (root(3)((x^2 - x^3)^2))^')/((root(3)((x^2 - x^3)^2))^2)

Separamos o 1 // 3 , pois ele é uma constante, beleza? Vamos achar cada termo dessa derivada:

(2 x - 3 x^2)^' = 2 - 6 x

O próximo é pela mesma regra da cadeia do passo anterior:

(root(3)((x^2 - x^3)^2))^' = ((x^2 - x^3)^((2)/(3)))^' = (2 (2 x - 3 x^2))/(3 root(3)(x^2 - x^3)) =

= (4 x - 6 x^2)/(3 root(3)(x^2 - x^3))

Por último, vamos só dar uma mexida nesse denominador do g ' ' ( x ) :

(root(3)((x^2 - x^3)^2))^2 = ((x^2 - x^3)^((2)/(3)))^2 = (x^2 - x^3)^((4)/(3)) =

Ou ainda:

= root(3)((x^2 - x^3)^4)

Juntando tudo:

g^(' ') (x) = (1)/(3) ((2 - 6 x) (root(3)((x^2 - x^3)^2)) - (2 x - 3 x^2) (4 x - 6 x^2)/(3 root(3)(x^2 - x^3)))/(root(3)((x^2 - x^3)^4))

Agora é fazer conta pra arrumar isso aí:

g^(' ') (x) = (1)/(3) ((3 root(3)(x^2 - x^3) (2 - 6 x) (root(3)((x^2 - x^3)^2)) - (2 x - 3 x^2) ( 4 x - 6 x^2 ))/(3 root(3)(x^2 - x^3)))/(root(3)((x^2 - x^3)^4))

g^(' ') (x) = (1)/(3) (3 root(3)(x^2 - x^3) (2 - 6 x) (root(3)((x^2 - x^3)^2)) - (2 x - 3 x^2) ( 4 x - 6 x^2 ))/(3 (root(3)(x^2 - x^3)) root(3)((x^2 - x^3)^4))

g^(' ') (x) = (1)/(3) (3 (2 - 6 x) (x^2 - x^3)^((1)/(3)) (x^2 - x^3)^((2)/(3)) - (2 x - 3 x^2) ( 4 x - 6 x^2 ))/(3 (x^2 - x^3)^((1)/(3)) (x^2 - x^3)^((4)/(3)))

Fazendo as multiplicações:

g^(' ') (x) = (1)/(9) ((6 - 18 x) (x^2 - x^3)^1 - 8 x^2 + 12 x^3 + 12 x^3 - 18 x^4)/((x^2 - x^3)^((5)/(3)))

g^(' ') (x) = (1)/(9) (6 x^2 - 6 x^3 - 18 x^3 + 18 x^4 - 8 x^2 + 12 x^3 + 12 x^3 - 18 x^4)/((x^2 - x^3)^((5)/(3)))

g^(' ') (x) = (1)/(9) (- 2 x^2)/((x^2 - x^3)^((5)/(3)))

g^(' ') (x) = - (2 x^2)/(9 root(3)((x^2 - x^3)^5))

Passo 4

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos. Primeiro, vamos achar os pontos críticos, isso é, onde a derivada é 0 ou não existe. Ela é zero quando:

g ' ' (x) = 0 -> 2 x^2 = 0 -> x = 0

E não existe quando o denominador é 0 , pois resulta em uma divisão por 0 :

9 root(3)((x^2 - x^3)^5) = 0 -> x^2 - x^3 = 0

x^2 (1 - x) = 0

x = 0

Ou

x = 1

Logo, x = 0 e x = 1 são os nossos pontos críticos!

Passo 5

Vamos estudar o sinal da segunda derivada de acordo com esses pontos.

Podemos ver que em x < 0 :

- (2 x^2)/(9 root(3)((x^2 - x^3)^5))

Nosso numerador continua positivo e o nosso denominador também fica positivo! Mas, por conta do sinal negativo ali na frente, temos g^(' ') (x) < 0 .

Com um x entre 0 e 1 , teremos um numerador positivo, como sempre, e nosso denominador continua positivo também! Pois nesse caso x^2 > x^3 e aquela subtração fica positiva, beleza? Novamente, por conta do sinal negativo na frente, temos g^(' ') (x) < 0 .

E com x > 1 ? Bem, nosso numerador é sempre positivo! Mas olhando para o denominador, teremos x^3 > x^2 , tornando a subtração um número negativo ( x^2 - x^3 < 0 )! Ao elevar esse cara a 5 e depois tirando a raiz cúbica dele, ele continua negativo. Então, temos um número negativo no denominador, certo? Mas como temos o sinal negativo na frente da fração toda, ela se torna positiva. Assim, temos g^(' ') (x) > 0 .

Resumo da ópera:

Para x dentro dos intervalos ( - oo , 0 ) e ( 0,1 ) , temos g^(' ') (x) < 0 .

Para x dentro do intervalo ( 1 , + oo ) , temos g^(' ') (x) > 0 .

Beleza?

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

( 1 , + oo )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para baixo no intervalo:

(- oo , 0) uu ( 0,1 )

O ponto de inflexão é onde a função muda a sua concavidade, nesse caso é 1 .

Tranquilo? Acabamos! 😊

Resposta

Côncava para cima no intervalo: ( 1 , + oo )

Côncava para baixo no intervalo: (- oo , 0) uu ( 0,1 )

Ponto de inflexão: x = 1

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