l) g(x) = raiz(3, x^2 - x^3)

Passo 1

Para sabermos a concavidade e os pontos de inflexão é necessário derivar duas vezes a função e depois fazer o estudo do sinal. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função:

g x = x 2 -   x 3 3

Então, pela regra da cadeia:

f h x ' = f ' h x ∙ h ' ( x )

No nosso caso, temos que f x = x 3 = x 1 3 e h x = x 2 - x 3 e g x = f h x = x 2 -   x 3 3 , beleza? Assim, vamos calcular cada derivada separadamente e juntar nessa fórmula aí de cima:

h ' x = 2 x - 3 x 2

f ' x = 1 3 x 1 3 - 1 = 1 3 x 2 3

Dessa forma:

f ' h x = 1 3 ( x 2 -   x 3 ) 2 3

Até aqui, tranquilo? Agora, vamos só colocar essas informações na fórmula que te falei ali no início:

f h x ' = g ' ( x ) = f ' h x ∙ h ' ( x )

g ' x = 1 3 x 2 -   x 3 2 3 ∙ 2 x - 3 x 2

g ' x =   2 x - 3 x 2 3 x 2 - x 3 2 3

Beleza?

Passo 3

Show! Vamos derivar mais uma vez esse cara! Usando a regra do quociente:

f x h x = f ' x h x - f x h ' ( x ) h x 2

Vamos lá:

g ' ' x = 1 3 2 x - 3 x 2 ' x 2 - x 3 2 3 - 2 x - 3 x 2 x 2 - x 3 2 3 ' x 2 - x 3 2 3 2

Separamos o 1 / 3 , pois ele é uma constante, beleza? Vamos achar cada termo dessa derivada:

2 x - 3 x 2 ' = 2 - 6 x

O próximo é pela mesma regra da cadeia do passo anterior:

x 2 - x 3 2 3 ' = x 2 - x 3 2 3 ' = 2 2 x - 3 x 2 3 x 2 - x 3 3 =

= 4 x - 6 x 2 3 x 2 - x 3 3

Por último, vamos só dar uma mexida nesse denominador do g ' ' ( x ) :

x 2 - x 3 2 3 2 = x 2 - x 3 2 3 2 = x 2 - x 3 4 3 =

Ou ainda:

= x 2 - x 3 4 3

Juntando tudo:

g ' ' x = 1 3 2 - 6 x x 2 - x 3 2 3 - 2 x - 3 x 2 4 x - 6 x 2 3 x 2 - x 3 3 x 2 - x 3 4 3

Agora é fazer conta pra arrumar isso aí:

g ' ' x = 1 3 3 x 2 - x 3 3 2 - 6 x x 2 - x 3 2 3 - 2 x - 3 x 2 ( 4 x - 6 x 2 ) 3 x 2 - x 3 3 x 2 - x 3 4 3

g ' ' x = 1 3 3 x 2 - x 3 3 2 - 6 x x 2 - x 3 2 3 - 2 x - 3 x 2 ( 4 x - 6 x 2 ) 3 x 2 - x 3 3 x 2 - x 3 4 3

g ' ' x = 1 3 3 2 - 6 x x 2 - x 3 1 3 x 2 - x 3 2 3 - 2 x - 3 x 2 ( 4 x - 6 x 2 ) 3 x 2 - x 3 1 3 x 2 - x 3 4 3

Fazendo as multiplicações:

g ' ' x = 1 9 6 - 18 x x 2 - x 3 1 - 8 x 2 + 12 x 3 + 12 x 3 - 18 x 4 x 2 - x 3 5 3

g ' ' x = 1 9 6 x 2 - 6 x 3 - 18 x 3 + 18 x 4 - 8 x 2 + 12 x 3 + 12 x 3 - 18 x 4 x 2 - x 3 5 3

g ' ' x = 1 9 - 2 x 2 x 2 - x 3 5 3

g ' ' x = - 2 x 2 9 x 2 - x 3 5 3

Passo 4

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos. Primeiro, vamos achar os pontos críticos, isso é, onde a derivada é 0 ou não existe. Ela é zero quando:

g ' ' x = 0 → 2 x 2 = 0 → x = 0

E não existe quando o denominador é 0 , pois resulta em uma divisão por 0 :

9 x 2 - x 3 5 3 = 0 → x 2 - x 3 = 0

x 2 1 - x = 0

x = 0

Ou

x = 1

Logo, x = 0 e x = 1 são os nossos pontos críticos!

Passo 5

Vamos estudar o sinal da segunda derivada de acordo com esses pontos.

Podemos ver que em x < 0 :

- 2 x 2 9 x 2 - x 3 5 3

Nosso numerador continua positivo e o nosso denominador também fica positivo! Mas, por conta do sinal negativo ali na frente, temos g ' ' x < 0 .

Com um x entre 0 e 1 , teremos um numerador positivo, como sempre, e nosso denominador continua positivo também! Pois nesse caso x 2 > x 3 e aquela subtração fica positiva, beleza? Novamente, por conta do sinal negativo na frente, temos g ' ' x < 0 .

E com x > 1 ? Bem, nosso numerador é sempre positivo! Mas olhando para o denominador, teremos x 3 > x 2 , tornando a subtração um número negativo ( x 2 - x 3 < 0 )! Ao elevar esse cara a 5 e depois tirando a raiz cúbica dele, ele continua negativo. Então, temos um número negativo no denominador, certo? Mas como temos o sinal negativo na frente da fração toda, ela se torna positiva. Assim, temos g ' ' x > 0 .

Resumo da ópera:

Para x dentro dos intervalos ( - ∞ , 0 ) e ( 0,1 ) , temos g ' ' x < 0 .

Para x dentro do intervalo ( 1 , + ∞ ) , temos g ' ' x > 0 .

Beleza?

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

( 1 , + ∞ )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para baixo no intervalo:

- ∞ , 0 ∪ ( 0,1 )

O ponto de inflexão é onde a função muda a sua concavidade, nesse caso é 1 .

Tranquilo? Acabamos! 😊

Resposta

Côncava para cima no intervalo: ( 1 , + ∞ )

Côncava para baixo no intervalo: - ∞ , 0 ∪ ( 0,1 )

Ponto de inflexão: x = 1

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