Enunciado

a) Encontre a excentricidade, b) identifique a cônica, c) dê uma equação da diretriz e d) esboce a cônica.

r = 6 3 + 2   s e n   θ

Passo 1

Fala ai! Vamos lembrar de um teorema importante citado no livro que vai nos ajudar a resolver essa questãozinha.

a) Teorema 6:

Equação polar tem a forma.

r = e d 1 + e   s e n   θ

Lembrando que e é a excentricidade.

Note que o denominador está como 1 + e   s e n   θ então temos que transformar esse denominador de modo que temos a soma de 1 com algum fator trigonométrico.

r = 6 3 + 2   s e n   θ

Passo 2

Para conseguirmos a mesma estrutura do Teorema, temos que dividirmos numerador e denominador por 3 , assim teremos:

r = 6 3 3 3 + 2 3 s e n   θ

r = 2 . 3 3 3 3 + 2 3 s e n   θ

Agora podemos comparar as duas equações e com isso encontramos um valor de excentricidade igual a:

r = 2 3 . 3 1 + 2 3 s e n   θ

e = 2 3

Passo 3

b) Vamos lembrar que:

- Se 0 < e < 1 : A elipse é uma elipse de formato alongado, onde 𝑒e representa o quão longe os focos estão do centro em relação ao tamanho da elipse.

- Se e = 0 : A elipse é na verdade um círculo (caso especial de elipse com excentricidade zero).

- Se e = 1 : A elipse é uma parábola (caso especial de elipse onde os focos estão infinitamente distantes).

Sendo assim, como e = 2 3 , ou seja, menor que 1, a equação representa uma elipse.

Passo 4

r = 2 3 . 3 1 + 2 3 s e n   θ

Pelo denominador estar com uma função seno então sabemos que a diretriz é uma reta y e por ser positiva sabemos que ela é um valor de y positivo, logo a equação da reta diretriz vale:

r = 2 3 . 3 1 + 2 3 s e n   θ

y = 3

Passo 5

A equação r = 2 1 + 2 3 s e n   θ tem valores mínimos quando θ = π / 2 pois o denominador é máximo e tem valor mínimo quando θ = 3 π 2 em que o denominador é mínimo, esses serão os pontos de vértice. Logo a posição desses vértices em coordenadas polares serão:

m a x = 2 1 + 2 3 , π 2 = 6 5 , π 2

m i n = 2 1 - 2 3 , 3 π 2 = 6 , 3 π 2

Fazendo a soma de duas coordenadas polares e depois dividimos por dois nós conseguimos encontrar o centro dessa elipse em coordenadas polares iguais a:

c e n t r o = 12 5 , 3 π 2

Resposta

a )   e = 2 3

b )   e l i p s e

c )   y = 3

d )   g r á f i c o   d o   p a s s o   4

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