Enunciado

13-30 Calcule a integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

17 ∫ 4 9 2 x x d x

Passo 1

Antes de começarmos a fazer a questão, falarei a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ele é assim:

Se f for contínua em [ a , b ] e F for uma antiderivada de f em [ a , b ] , então:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Vamos reescrever essa expressão:

2 x x = 2 x x 1 2 = 2 x 3 2

Passo 2

Então, nossa ideia é acharmos a antiderivada e para isso faremos a integral indefinida abaixo:

∫ 4 9 2 x x d x = ∫ 4 9 2 x 3 2 d x = 2 x 3 2 + 1 3 2 + 1 + C = 2 x 5 2 5 2 + C = 2 2 x 5 2 5 + C = 4 x 5 2 5 + C

Nossa antiderivada é:

F x = 4 x 5 2 5

Passo 3

Agora vamos calcular a integral definida:

∫ 4 9 2 x x d x = F 9 - F ( 4 )

Lembrando que

F x = 4 x 5 2 5

Vamos calcular

F 9 = 4 ( 9 ) 5 2 5 = 4 × 3 5 5 = 4 × 243 5 = 972 5

F 4 = 4 ( 4 ) 5 2 5 = 4 × 2 5 5 = 4 × 32 5 = 128 5

Voltando para a integral definida:

∫ 4 9 2 x x d x = 972 5 - 128 5 = 844 5

Resposta

∫ 4 9 2 x x d x = 844 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se f x = 0 , a ≤xc k , x = c 1 , cx ≤ b Prove que f é integrável em [a,b] e ∫ a b f x d x = b - c
Mostre que a desigualdade é valida ∫ - 2 - 1 1 x - 3 d x ≥∫ - 2 - 1 1 x d x
Calcule a derivada d d x ∫ - x x 4 1 + t ²d t ²
Aplique o teorema abaixo para achar um intervalo fechado contendo o valor da integral definida dada ∫ - 2 1 2 x 3 - 3 x 2 + 11 / 3 d x Teorema: Se existir mínimo (m) e máximo (M) para f(x) num interva
Prove que ∑ 1 ni 3 = ∑ 1 ni 2 e verifique para n = 1, 2, 3.