1.

Seja

F x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e 2 x + t 2 d t

Calcule F ' x e determine F ' π 4 .

Resolução
2.

Considere a função

g x = ∫ 0 2 cos ⁡ x 3 + sen ⁡ t 2 d t

definida em R .

Seja

f x = ∫ 0 g ( x ) t 2 4 + t 4 d t

Calcule f ' π 2 .

Resolução
3.

Seja

f x = ∫ x 2 1 1 + t 4 d t

É dado que

∫ 1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

  1. Determine f ' 1
  2. Ache a área do triangulo limitado pelos eixos e pela reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 , f 1 .
Resolução
4.

Calcular a derivada:

d ∫ 1 x 3 t 2 + 1 3 d t d x

Resolução
5.

Calcule o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 3 e t 3 d t ∫ 0 x 2 e 2 t 2 d t

Resolução
6.

a ) Seja

G x = ∫ 0 x t ∫ 0 t e u 2 d u d t

Calcule G ' ( x ) e G ' ' ( x ) .

Resolução
7.

Seja

F x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e 2 x + t 2 d t

Calcule F ' x e determine F ' π 4 .

Resolução
8.

Seja

F x = ∫ 0 x x + t 2 e t 2 d t ,       x > 0

Determine F ' ( x ) e F ' ' ( x ) .

Resolução
9.

b ) Mostre que o gráfico da função F   : ] 0 , + ∞ [ → R dada por

F x = ∫ 1 1 / x 3 1 1 + t 4 + t - 4 3 d t - 3 ∫ x 0 t 8 1 + t 12 d t

É parte de uma reta. Determine o coeficiente angular dessa reta.

Resolução
10.

Calcule os seguintes limites:

b   lim x → 0 ⁡ ∫ 0 sen ⁡ x 3 x e t 2 d t ∫ cos ⁡ x 1 e t 2 d t

Resolução
11.

Seja F x = ∫ 0 x 3 x 3 sen ⁡ t 2 d t .

a Calcule F ' x para x ≠ 0 .

b Verifique se F é derivável em x 0 = 0 . Em caso afirmativo, calcule F ' 0 .

Resolução
12.
  1. Calcule f ' 0 , sabendo que

f x = ∫ 2 - 5 x x 2 + 3 cos ⁡ π ∙ t t d t

Resolução
13.

Encontre o limite:

lim h → 0 ⁡ 1 h ∫ 2 2 + h 1 + t 3 d t

Resolução
14.

Considere:

G x = ∫ 0 x f t d t

Onde f é a função cujo gráfico é dado abaixo:

Sabendo que as áreas das regiões R 1 , R 2 , R 3 , R 4 e R 5 são:

A R 1 = 4 5 , A R 2 = 1 , A R 3 = 2 3 , A R 4 = 3 4 e A R 5 = 5 6 .

Determine os intervalos de crescimento da função G .

Resolução
15.

Considere:

G x = ∫ 0 x f t d t

Onde f é a função cujo gráfico é dado abaixo:

Sabendo que as áreas das regiões R 1 , R 2 , R 3 , R 4 e R 5 são:

A R 1 = 4 5 , A R 2 = 1 , A R 3 = 2 3 , A R 4 = 3 4 e A R 5 = 5 6 .

Determine os pontos de máximo e mínimo local da função G .

Resolução
16.

Considere f : [ 0 , ∞ ) → R definida por f x = sen ⁡ x 2 . Na figura abaixo, A t representa a área da região indicada e B t é a área do triângulo com vértices em O , P e t , 0 indicado.

Determine lim t → 0 + ⁡ A t B t .

Resolução
17.

Seja

f x = ∫ x 2 1 1 + t 4 d t

É dado que

∫ 1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

  1. Determine f ' 1
  2. Ache a área do triangulo limitado pelos eixos e pela reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 , f 1 .
Resolução
18.

Seja f x = ∫ 0 sen ⁡ ( x ) t 2 - 5 t + 6 1 + t 2 d t . Encontre os pontos críticos (números críticos) de f .

Resolução
19.

Seja

f x = ∫ 0 x 3 t 2 - 1 1 + t 2 + t 4 d t

Mostre que f é impar

Resolução
20.

Seja

f x = ∫ 0 x 3 t 2 - 1 1 + t 2 + t 4 d t

Determine os intervalor onde f é crescente.

Resolução
21.

Se

f x = ∫ 0 sen ⁡ ( x ) 1 + t 2 d t

e

g y = ∫ 3 y f ( x ) d x

encontre g ' ' π 3 .

Resolução
22.

Seja f uma função contínua e

x sen ⁡ ( π x ) = ∫ 0 x 2 f t d t

Determine f ( 4 ) .

Resolução
23.

Seja g x uma função contínua tal que:

∫ 1 x g t d t = x - 1 e 2 x + ∫ 1 x e - t g t d t ,                       p a r a   t o d o   x ≥ 1

Ache uma fórmula explícita para g .

Resolução
24.

a Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = f x no ponto 0,1 , sendo:

f x = 1 + ∫ 0 x 2 1 + t 2 d t

Resolução
25.

1) Calcule as integrais abaixo:

c )       ∫ - 2 3 5 + 4 x - x 2   d x

Resolução
26.

Considere a função g = g ( x ) , x > 0 , dada por:

g x = ∫ x x 2 e t t d t

Calcule f x = d g d x , justificando todas as passagens.

Resolução
27.

A taxa de gasto de combustível de um foguete em tempo t é representada por f ( t ) e é obtida através da relação f t = d F d t , onde F ( t ) é o gasto acumulado. Obtenha f t se F ( t ) for dada por:

F t = ∫ 0 t cos ⁡ e - x 2 + x - 1 2 d x

Justifique todas as passagens.

Resolução
28.

Seja

h x = ∫ 1 x 7 e t 3 + 1 d t

Encontre h ' ( x ) .

Resolução
29.

Sejam f e g funções contínuas em R tais que:

∫ - 2 1 f x d x = 3

∫ - 2 1 g x d x = 2

∫ - 2 0 f x d x = 5

  1. Calcule:
  2. ∫ - 2 1 [ f x + 3 g x ] d x

    ∫ 0 1 f x d x

  3. Calcule G ( 1 ) e G ' ( x ) , sendo G definida por:

G x = ∫ 0 x 2 f t d t

Resolução
30.

Calcule o limite:

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 1 + sen ⁡ t 2013 d t 3 x

Resolução
31.

Seja ϕ   :   [ 0 ,   + ∞ ) → R uma função derivável e considere

F t = ∫ 0 ϕ 2 t sen ⁡ x x d x

( a ) Se ϕ 1 = π 2 e ϕ ' 1 = 1 2 , calcule F ' 1 ;

Resolução
32.

Seja ϕ   :   [ 0 ,   + ∞ ) → R uma função derivável e considere

F t = ∫ 0 ϕ 2 t sen ⁡ x x d x

b Se ϕ ' t = 1 para todo t   ∈   [ 0 ,   + ∞ ) , calcule:

lim t → + ∞ ⁡ F ' ( t )                 e                 lim t → 0 ⁡ F ' ( t )

Resolução
33.

Considere a função

F x = ∫ 0 x 3 - 3 x 2 e t 2 d t

a Determine os dois pontos críticos de F x , isto é, os pontos onde F ' x = 0 .

b Identifique qual desses pontos é ponto de máximo e qual é ponto de mínimo. Justifique.

Resolução
39.

Calcule o limite indicado

lim x → - 1 ⁡ ∫ - x 1 e t 2 d t x + 1 3

Resolução
41.

Mostre que y x = 1 a ∫ 0 x f t sen ⁡ a x - t   d t é solução do problema de valor inicial:

y ' ' + a y = f x ,     y ' 0 = y 0 = 0 ,

Onde a ∈ R * é constante.

Resolução
45.

Calcule os limites:

  lim x → 1 + ⁡ ∫ 5 5 x cos 4 ⁡ 7 t d t ∫ - 1 cos ⁡ 3 π x 2 t 2 d t

Resolução
46.

Seja

f x = ∫ 3 x 2 - 1 2 t - 3 t 4 + 5 d t

( a ) Mostre que f é uma função par

( b ) Calcule f 1

( c ) Calcule a primeira derivada da função f , f '

( d ) Calcule f ' 1

( e ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em 1 , f 1

( f ) Determine os pontos críticos de f , e classifique cada um deles.

Resolução
47.

Seja

f x = ∫ 2 x 2 + 1 3 t + sen ⁡ π t d t + π

a Calcule f ' x

b Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em 1 , f 1

Resolução
48.

Se f for uma função contínua tal que: ∫ 1 x f t d t = x - 1 ⋅ e 2 x + ∫ 1 x e - t f t d t

Para todo x real ache uma fórmula explicita para f x .

Resolução
49.

Seja

f x = ∫ log 3 ⁡ x x 2 + 1 t 4 + 1 d t

Determine f ' 1 .

Resolução
50.

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x ( cos ⁡ ( t ) ) 20 d t x

Resolução
51.

Considere a função f : R → R dada por

f x = ∫ 3 2 x 3 + x 2 t 3 d t t 2 + 16

  1. Determine f 1 e f - 1 .
  2. Calcule f ' x , utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Resolução
52.

Seja g :   R - → R uma função contínua que satisfaz 2 x 2 + c = x   ∫ c x g ( t )   d t , sendo c uma constante não nula. O valor de g ( c ) é igual a:

  1. 4.
  2. 2.
  3. 1.
  4. 6.
  5. 0.
Resolução
53.

Seja g :   R - → R uma função contínua que satisfaz 3 x 2 + c = x   ∫ c x g ( t )   d t , sendo c uma constante não nula. O valor de g ( c ) é igual a:

  1. 2.
  2. 4.
  3. 1.
  4. 6.
  5. 0.
Resolução
54.

Seja g :   R - → R uma função contínua que satisfaz x 2 + c = x   ∫ c x g ( t )   d t , sendo c uma constante não nula. O valor de g ( c ) é igual a:

  1. 2.
  2. 4.
  3. 1.
  4. 6.
  5. 0.
Resolução
55.

Seja h x = ∫ 0 x 2 s e n e t d t .

  1. Encontre h ' x .
Resolução
56.

Seja h x = ∫ 0 x 4 s e n t 2 d t .