Enunciado

15 . Suponha que determinada população satisfaz o problema de valor inicial

dy/dt = r(t)y k,

y(0) = y0,

em que a taxa de crescimento r(t) é dada por r(t) = (1 + sen t)/5, e k representa a taxa predatória.(a) Suponha que k = 1/5. Faça gráficos de y em função de t para diversos valores de y0 entre ½e 1.(b) Estime a população inicial crítica yc abaixo da qual a população será extinta.(c) Escolha outros valores de k e encontre a população crítica yc correspondente para cada umdeles.(d) Use os dados encontrados nos itens (b) e (c) para fazer o gráfico de yc em função de k.

Passo 1

No passo a) descobrimos coisas importantes. Que nossa função não tem uma solução analitica é uma bem importante. Podemos observar abaixo

y = 1 e cos ⁡ t - t 5   ∫ e - t 5 + cos ⁡ t 5   - 1 5 d t + y 0 e 1 5

Podemos deixar ela um pouco mais palatavel como

y = 1 e cos ⁡ t - t - 1 5 ∫ e cos ⁡ t - t   d t + y 0

Como não podemos resolver essa integral podemos expressar ela por uma expansão em Taylor como podemos observar abaixo

Uma coisa importante é que em a) tinhamos que k =   - 1 5 , como queremos variar k logo podemos substituir isso na nossa euqação e obter

y = 1 e cos ⁡ t - t k ' ∫ e cos ⁡ t - t   d t + y 0

Passo 2

Queremos saber o valor de y 0 que seja tao pequeno que não de tempo da população se recuperar e crescer. O gráfico de uma função de y pode ser observada abaixo

A função decresce antes de subir, se o valor inicial for muito baixo. A população se extinguira.

Passo 3

Então queremos y t → 0

0 = 1 e cos ⁡ t - t k ' ∫ e cos ⁡ t - t   d t + y 0

Por propriedades matematica ou

1 e cos ⁡ t - t = 0

Ou

k ' ∫ e cos ⁡ t - t   d t + y 0 = 0

E como a função exponencial nunca se anula, entao temos que

k ' ∫ e cos ⁡ t - t   d t + y 0 = 0

y 0 = - k ' ∫ e cos ⁡ t - t   d t

E infelizmente, como não temos resolver essa integral somos obrigados a parar por aqui.

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y 0 = - k ' ∫ e cos ⁡ t - t   d t

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