Enunciado

19. Considere um lago, de volume constante V, contendo, no instante t, uma quantidade Q(t) de poluentes distribuídos uniformemente em todo o lago com uma concentração c(t), onde c(t) = Q(t)/V. Suponha que está entrando no lago água contendo uma concentração k de poluentes a uma taxa r e que está saindo água do lago à mesma taxa. Suponha também que são adicionados poluentes diretamente no lago a uma taxa constante P. Note que as hipóteses feitas não consideram uma série de fatores que podem ser importantes em alguns casos — por exemplo, a água que é adicionada ou perdida devido à precipitação, à absorção ou à evaporação; aestratificação em consequência das diferenças de temperatura em um lago profundo; a produção de baías protegidas, por causa de irregularidades na borda; e o fato de que os poluentes não são depositados uniformemente em todo o lago (em geral), mas em pontos isolados em suaperiferia. Os resultados a seguir têm que ser interpretados levando em consideração que não foram contemplados fatores como esses.

(a) Se a concentração de poluentes no instante t = 0 é c0, encontre uma expressão para aconcentração c(t) em qualquer instante t. Qual é a concentração limite quando t → ∞?

(b) Se a adição de poluentes no lago termina (k = 0 e P = 0 para t > 0), determine o intervalode tempo T necessário para que a concentração de poluentes seja reduzida a 50% de seu valororiginal; e a 10% de seu valor original.(c) A Tabela 2.3.2 contém dados6 para os Grandes Lagos.* Usando esses dados, determine, a partir do item (b), o tempo T necessário para reduzir a contaminação desses lagos a 10% de seu valor original.

Passo 1

No item anterior descobrimos que nossa função concentração é

C t = 1 r P + k r + r C 0 - P - k r e - t r V

Já no item b calculamos que o tempo para a concentração de poluentes chegar a 10% é

t 10 = V r ln ⁡ 10

Lembrando que t é em anos.

Passo 2

Vamos agora calcular com dados reais sobre os grandes lagos da tabela

Lago Superior

V = 12,2 ⋅ 10 3

r = 65.2

Utilizando nossa fórmula teremos

t 10 = 12.2 ⋅ 10 3 65.2 ln ⁡ 10

t 10 = 430

Passo 3

Lago Michigan

V = 4.9 ⋅ 10 3

r = 158

Utilizando nossa fórmula teremos

t 10 = 4,9 ⋅ 10 3 158 ln ⁡ 10

𝑡10 t 10 = 71

Passo 4

Lago Erie

V = 460

r = 175

Utilizando nossa fórmula teremos

t 10 = 460 1 75 ln ⁡ 10

𝑡10 t 10 = 6

Passo 5

Lago Ontario

V = 460

r = 175

Utilizando nossa fórmula teremos

t 10 = 1600 209 ln ⁡ 10

t 10 = 18

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Lago Superior

t 10 = 430

Lago Michigan

t 10 = 71

Lago Erie

t 10 = 6

Lago Ontario

t 10 = 18

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