Enunciado

19. Considere um lago, de volume constante V, contendo, no instante t, uma quantidade Q(t) de poluentes distribuídos uniformemente em todo o lago com uma concentração c(t), onde c(t) = Q(t)/V. Suponha que está entrando no lago água contendo uma concentração k de poluentes a uma taxa r e que está saindo água do lago à mesma taxa. Suponha também que são adicionados poluentes diretamente no lago a uma taxa constante P. Note que as hipóteses feitas não consideram uma série de fatores que podem ser importantes em alguns casos — por exemplo, a água que é adicionada ou perdida devido à precipitação, à absorção ou à evaporação; aestratificação em consequência das diferenças de temperatura em um lago profundo; a produção de baías protegidas, por causa de irregularidades na borda; e o fato de que os poluentes não são depositados uniformemente em todo o lago (em geral), mas em pontos isolados em suaperiferia. Os resultados a seguir têm que ser interpretados levando em consideração que não foram contemplados fatores como esses.

(a) Se a concentração de poluentes no instante t = 0 é c0, encontre uma expressão para aconcentração c(t) em qualquer instante t. Qual é a concentração limite quando t → ∞?

(b) Se a adição de poluentes no lago termina (k = 0 e P = 0 para t > 0), determine o intervalode tempo T necessário para que a concentração de poluentes seja reduzida a 50% de seu valororiginal; e a 10% de seu valor original.(c) A Tabela 2.3.2 contém dados6 para os Grandes Lagos.* Usando esses dados, determine, a partir do item (b), o tempo T necessário para reduzir a contaminação desses lagos a 10% de seu valor original.

Passo 1

No item anterior descobrimos que nossa função concentração é

C t = 1 r P + k r + r C 0 - P - k r e - t r V

Agora queremos saber o tempo necessário para

C t = C 0 2

E depois

C t = C 0 10

Passo 2

Vamos começar com 50% dos poluentes. O enunciado nos diz que k = 0 e P = 0. Entao vamos substituir esses valores em C(t)

C 0 2 = 1 r r C 0 e - t r V

e - t r V = 1 2

- t r V = ln ⁡ 1 2

t = - V r ln ⁡ 1 2

t = V r ln ⁡ 2

Passo 3

Agora vamos a 10% de poluição

C 0 10 = 1 r r C 0 e - t r V

e - t r V = 1 10

t = V r ln ⁡ 10

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

t 2 = V r ln ⁡ 2

t 10 = V r ln ⁡ 10

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

6. Suponha que um tanque contendo determinado líquido tem uma saída próxima do fundo. Seja h(t) a altura da superfície do líquido acima da saída no instante t. O princípio de Torricelli2 diz que a vel
5. Um tanque contém 100 galões de água e 50 onças* de sal. Água contendo uma concentração de sal de (¼) [1 + (½)sent] onças por galão entra no tanque a uma taxa de 2 galões por minuto, e a mistura sai
28. Uma massa de 0,25 kg cai, a partir do repouso, em um meio que oferece uma resistência de 0,2|υ|, em que υ está em m/s.(a) Se a massa cai de uma altura de 30 m, encontre sua velocidade ao atingir o
27. Um corpo caindo em um fluido relativamente denso, óleo, por exemplo, está sob a ação de trêsforças (veja a Figura 2.3.5): uma força de resistência R, um empuxo B e seu peso w devido àgravidade. O
28. Uma massa de 0,25 kg cai, a partir do repouso, em um meio que oferece uma resistência de 0,2|υ|, em que υ está em m/s.(a) Se a massa cai de uma altura de 30 m, encontre sua velocidade ao atingir o