Enunciado

19-22. Calcule a integral definida expressando-a em termos de u e calculando a integral resultante usando uma fórmula de Geometria.

20. ∫ 0 2 x 16 - x 4 d x ; u = x 2

Passo 1

Então galera, a integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ 0 2 x 16 - x 4 d x

E nossa substituição é:

u = x 2

Derivando para descobrirmos d u em função de d x :

d u = 2 x d x

∴ d u 2 = x d x

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ 0 2 x 16 - x 2 2 d x = 1 2 ∫ 0 2 16 - u 2 d u

Ok, primeira parte finalizada!

Passo 2

O que devemos fazer agora é alterar os intervalos de integração, uma vez que não estamos mais integrando em relação a x , e sim em relação a u ! Os intervalos são: x = 0 e x = 2 , certo? Utilizando a substituição indicada, teremos:

u 0 = 0

u 2 = 2 2 = 4

Logo, nossa integral será:

∫ 0 2 x 16 - x 2 2 d x = 1 2 ∫ 0 4 16 - u 2 d u

Passo 3

Na integral que chegamos no passo anterior há uma informação bastante implícita, galera! O gráfico do nosso integrando y = 16 - u 2 é o semicírculo superior de raio 4 e centro na origem; sendo assim, a região é um quarto de um círculo inteiro estendendo-se de x = 0 até x = 4 , ou seja:

1 2 ∫ 0 4 16 - u 2 d u = 1 2 1 4 . Á r e a   d o   c í r c u l o

1 2 ∫ 0 4 16 - u 2 d u = 1 2 1 4 . π R 2 = 1 8 . π . 4 ²

∴ 1 2 ∫ 0 4 16 - u 2 d u = 2 π

E essa é a nossa resposta, pessoal! Vale ressaltar que a integral foi resolvida pensando na geometria do problema e não em uma técnica de fato, ok? 😊

Resposta

∫ 0 2 x 16 - x 4 d x = 2 π

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